Enunciado
FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Fox - Mecânica dos Fluidos- Ed: 8º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 61
Usando a Eq. 2.16, deduza os perfis de velocidade, vazão e velocidade média de um fluido não newtoniano em um tubo circular. Para uma vazão e , com tendo valor unitário em unidades padrões , compare os gradientes de pressão requeridos para e . Que fluido demanda a menor bomba para o mesmo comprimento de tubo?
Passo 1
A primeira coisa que devemos fazer é ir no capítulo 2 para pegar a equação 2.16, que será:
No nosso caso, o eixo é representado pela direção , então essa equação se torna:
E, conforme vimos na equação 8.15, podemos escrever a tensão de cisalhamento ao longo de um tubo como:
Então, igualando as duas expressões para a tensão de cisalhamento, chegamos em:
Isolando , temos:
Integrando essa expressão em , obtemos:
Então, da condição de não deslizamento na extremidade, temos:
Então, substituindo esses valores na equação acima, conseguimos encontrar o valor de :
Então, a equação para o perfil de velocidade será:
Passo 2
Então, agora, para obter a vazão volumétrica, podemos usar a sua definição, onde temos:
Então, substituindo o valor da expressão para a velocidade obtida no passo 1, temos:
Resolvendo a integral, chegamos em:
E, substituindo os limites de integração, temos:
E, então, a velocidade média será dada por:
Passo 3
Agora, como vimos no passo 2, através da equação da vazão, podemos isolar o gradiente de pressão, então, teremos:
Então, antes de substituir os valores conhecidos, vamos converter a vazão para a unidade do sistema internacional, então, temos:
Então, substituindo os valores conhecidos, na equação para o gradiente de pressão, e considerando primeiro , temos:
Agora, repetindo o cálculo para , temos:
E, por fim, para , temos:
Dessa forma, podemos ver que o fluido com demanda a menor pressão na bomba considerando o mesmo comprimento de tubo.