Usando a Eq. 2.16, deduza os perfis de velocidade, vazão e velocidade média de um fluido não newtoniano em um tubo circular. Para uma vazão Q = 1μ L / m i n e R = 1m m , com k tendo valor unitário em unidades padrões S I , compare os gradientes de pressão requeridos para n = 0,5 ; 1,0 e 1,5 . Que fluido demanda a menor bomba para o mesmo comprimento de tubo?

∂ p ∂ x = - 325,77P a / m ∂ p ∂ x = - 42,45P a / m ∂ p ∂ x = - 5,43P a / m

Enunciado

A primeira coisa que devemos fazer é ir no capítulo 2 para pegar a equação 2.16, que será:

No nosso caso, o eixo é representado pela direção , então essa equação se torna:

E, conforme vimos na equação 8.15, podemos escrever a tensão de cisalhamento ao longo de um tubo como:

Então, igualando as duas expressões para a tensão de cisalhamento, chegamos em:

Isolando , temos:

Integrando essa expressão em , obtemos:

Então, da condição de não deslizamento na extremidade, temos:

Então, substituindo esses valores na equação acima, conseguimos encontrar o valor de :

Então, a equação para o perfil de velocidade será:

Então, agora, para obter a vazão volumétrica, podemos usar a sua definição, onde temos:

Então, substituindo o valor da expressão para a velocidade obtida no passo 1, temos:

Resolvendo a integral, chegamos em:

E, substituindo os limites de integração, temos:

E, então, a velocidade média será dada por:

Agora, como vimos no passo 2, através da equação da vazão, podemos isolar o gradiente de pressão, então, teremos:

Então, antes de substituir os valores conhecidos, vamos converter a vazão para a unidade do sistema internacional, então, temos:

Então, substituindo os valores conhecidos, na equação para o gradiente de pressão, e considerando primeiro , temos:

Agora, repetindo o cálculo para , temos:

E, por fim, para , temos:

Dessa forma, podemos ver que o fluido com demanda a menor pressão na bomba considerando o mesmo comprimento de tubo.