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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Transferência de Calor- Ed: 4º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 129

Válvulas de motor (k = 48 W/m.K, c p = 440 J/kg.K ρ = 7840 kg/m³) são aquecidos a 800 °C na seção de tratamento térmico de uma fábrica de válvulas. As válvulas são imersas em banho de óleo a uma temperatura média de 50 °C. O coeficiente de transferência de calor no banho de óleo é 800 W/m².K. As válvulas têm haste cilíndrica com diâmetro de 8 mm e comprimento de 10 cm. Pode-se considerar que a cabeça e a haste da válvula têm a mesma área de superfície e que o volume da cabeça da válvula é 80% do volume da haste. Determine o tempo para que a temperatura da válvula caia para (a) 400 °C, (b) 200 °C, (c) 51 °C e (d) a transferência de calor máxima a partir da única válvula.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado juntos e entender o que o problema quer de você.

Devemos considerar o sistema como a haste e cabeça da haste da válvula, sendo que a cabeça tem a mesma área superficial e o volume da cabeça é 80% do volume da haste. A dimensão característica do sistema todo é

L C = V A s =   1,8 ( π D ² L / 4 ) 2   π D L =   1,8 D 8 =   1,8 ( 0,008   m ) 8 = 0,0018   m

Vamos calcular, então, o Número de Biot para o problema:

B i =   h L k =   ( 800   W / m ² . K ) ( 0,0018   m ) 48   W / m . K = 0,03

É possível notar que o valor de B i é menor que 0,1 e, portanto, podemos reduzir o problema à análise de parâmetros concentrados, a partir da equação:

T t - T ∞ T i - T ∞ =   e - h ρ c P L C t

Para resolver o problema, usaremos as seguintes propriedades:

T i = 800   ° C   e   T ∞ = 50   ° C ρ   = 7840     k g / m ³ c P = 440   J / k g . K   k   = 48   W / m . K h =   800   W / m ² . K

Passo 2

Para resolver a letra (a) vamos substituir as propriedades que vimos no Passo 1:

40 0   ° C - 5 0   ° C 80 0   ° C - 5 0   ° C =   e - 800   W / m ² . K (   7840   k g / m ³ ) ( 440   J / k g . K ) ( 0,0018   m ) t → 0,467 = e - 0,129 t  

Aplicando ln em ambos os lados:

ln ⁡ 0,467 = ln ⁡ e - 0,129 t → - 0,7614 = - 0,129 t   → t = 5,9   s

Passo 3

Resolvendo a letra (b):

2 00   ° C - 50   ° C 800   ° C - 50   ° C =   e - 800   W / m ² . K (   7840   k g / m ³ ) ( 440   J / k g . K ) ( 0,0018   m ) t → 0,2 = e - 0,129 t  

Aplicando ln em ambos os lados:

ln ⁡ 0,2 = ln ⁡ e - 0,129 t → - 1,6094 = - 0,129 t   → t = 12,5   s

Passo 4

Resolvendo a letra (c):

51   ° C - 50   ° C 800   ° C - 50   ° C =   e - 800   W / m ² . K (   7840   k g / m ³ ) ( 440   J / k g . K ) ( 0,0018   m ) t → 0,0013 = e - 0,129 t  

Aplicando ln em ambos os lados:

ln ⁡ 0,0013 = ln ⁡ e - 0,129 t → - 6,62 = - 0,129 t   → t = 51,3   s

Passo 5

Para resolver a letra (d) e calcular a taxa de calor transferido para que a válvula entre em equilíbrio em T ∞ = 50   ° C , vamos utilizar a equação:

Q = m c P ( T t - T ∞ )

Mas antes, precisamos calcular a vazão mássica:

m = ρ V =   ρ 1,8 π D 2 L 4 = 7840   k g m 3 1,8 π 0,008   m 2 0,1   m 4 = 0,0709   k g

Substituindo na equação do calor:

Q ˙ = 0,0709   k g 440   J / k g . K 800   ° C - 50   ° C = 23 , 39 k J

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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