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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Brunetti - Mecânica dos Fluidos - Ed: 2º - Capítulo 6.Exercício - Ex. 6

A velocidade v com que o fluido atravessa o vertedor triangular da figura é uma função da aceleração da gravidade g e da altura h da superfície livre do líquido em relação ao vértice do triãngulo. Determinar a expressão para a vazão.

Passo 1

O primeiro passo é identificar a função representativa, nesse caso, estamos analisando a velocidade, sabemos que a velocidade é função de:

v = f g , h

Então, a função representativa será

f g , h , v = 0

Agora vamos escrever a equação dimensional para cada uma das grandezas:

g = L T - 2 ; h = L ;   v = L T - 1

Agora vamos calcular o número de adimensionais independentes m = n - r , nesse caso temos:

n = 3   g r a n d e z a s   e n v o l v i d a s   n o   f e n ô m e n o

r = 2   n ú m e r o   d e   g r a n d e z a s   f u n d a m e n t a i s   d o   f e n ô m e n o

Sendo assim, temos:

m = 3 - 2 → m = 1   ( g r u p o s   d i m e n s i o n a i s )

Como temos m = 1 , então o grupo dimensional será uma constante C .

Passo 2

Agora vamos construir os números adimensionais:

π 1 = g α 1 h α 2 v

Agora, substituindo cada uma das grandezas dimensionais nas equações, temos:

π 1 = g α 1 h α 2 v = L T - 2 α 1 L α 2 L T - 1

Então, para que π 1 seja adimensional, temos:

- 2 α 1 - 1 = 0 → α 1 = - 1 2

α 1 + α 2 + 1 = 0 → α 2 = - 1 - - 1 2 → α 2 = - 1 2

Dessa forma, temos então:

π 1 = g - 1 2 h - 1 2 v → π 1 = v g h → v = π 1 g h

Passo 3

Agora, sabemos que a fórmula da vazão é dada por:

Q = v A

E, podemos escrever a área de um triângulo como:

A = b h 2

Sendo α o ângulo do vértice da base do vertedor da figura do enunciado, então podemos escrever:

tg ⁡ α 2 = b 2 h → b = 2 h tg ⁡ α 2

Substituindo essa expressão na equação para a área, temos:

A = 2 h t g α 2 h 2 → A = h 2 t g α 2

Agora, substituindo esse valor e o valor encontrado para v no passo 2, temos:

Q = v A = π 1 g h h 2 t g α 2

Como π 1 e t g ( α / 2 ) são constantes, sua multiplicação também é uma constante, então, a vazão será:

Q = C g h 5

Resposta

Q = C g h 5

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