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Enunciado

FenTrans, MecFlu, TransCal e TransMassa - Çengel - Mecânica dos Fluidos- Ed: 1º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 79

A velocidade de um líquido que escoa em um tubo circular de raio R varia de zero na parede até o máximo no centro do tubo. A distribuição da velocidade no tubo pode ser representada por V r , onde r é a distância radial a partir do centro do tubo. Com base na definição da vazão de massa m ˙ , obtenha uma relação para a velocidade média em termos de V r ,   R e r.

Passo 1

A definição de m ˙ :

m ˙ = ρ V A

Sabemos que nossa velocidade está variando de acordo com espaço que o fluido está escoa pelo tubo:

  m ˙ = ρ V r   d A

Está variação de espaço configura uma diferenciação da área, portanto:

d A = π r 2 d

d A = 2 π r   d r

Substituindo na equação do fluxo de massa:

  m ˙ = ρ V r ∙ 2 π r   d r

Passo 2

Agora que definimos nossa equação:

m ˙ = ρ V r ∙ 2 π r   d r

Como nosso fluido está variando a velocidade em um espaço, espaço este que é limitado de zero para o raio máximo, tem:

m ˙ = 2 π ρ ∫ 0 R V r ∙ r   d r

Agora pelo princípio da conservação da massa, o fluxo de massa será a mesma:

m ˙ = ρ V m é d π R 2

Igualando as duas equações:

ρ V m é d π R 2 = 2 π ρ ∫ 0 R V r ∙ r   d r

Simplificando a equação:

V m é d = 2 R 2 ∫ 0 R V r ∙ r   d r

Resposta

V m é d = 2 R 2 ∫ 0 R V r ∙ r   d r

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