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Enunciado

Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 2.6 - Ex. 51

A aceleração de uma motocicleta é dada por   a x t = A t - B t 2 , onde A = 1,5   m / s 3 e B = 0,120   m / s 4 . A motocicleta está em repouso na origem no instante t = 0 . a) Calcule sua velocidade e posição em função do tempo. b) Calcule a velocidade máxima que ela pode atingir.

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui temos uma motocicleta acelerando. Quando temos um movimento acelerado temos as seguintes equações:

v = v 0 + a ⋅ t

E

S = S 0 + v 0 ⋅ t + a ⋅ t 2 2

Mas, aqui, a aceleração não é constante (repara que o problema nos forneceu que a x t = A t - B t 2 ) então não podemos utilizar as equações de aceleração constantes. Em vez disso, vamos usar:

v = v 0 + ∫ 0 t a ⋅ d t

Nessa equação, podemos achar a velocidade, v em qualquer tempo;

E, na próxima equação, podemos encontrar a posição, S , em qualquer tempo:

S = S 0 + ∫ 0 t v ⋅ d t

Como vamos ter que integrar, vale relembrar como calculamos integral com exponencial:

∫ t n d t = t n + 1 n + 1

Agora vamos aplicar!

Passo 2

  1. Temos os seguintes dados:

    2. D a d o s : A = 1,5   m / s 3 B = 0,120   m / s 4 t o r i g e m = 0 m s v 0 = 0 m / s

    Agora, vamos montar nossa integral da velocidade com o os dados que temos:

    v = v 0 + ∫ 0 t α ( t )   d t

    Substituindo a t na integral,

    ⇒   v = v 0 + ∫ 0 t ( A t - B t 2 )   d t

    Resolvendo,

    v = 0 + 1 2 A t 2 - 1 3 B t 3

    Agora vamos substituir os dados do problema

    v = 1 2 ( 1,50 m / s 3 ) t 2 - 1 3 ( 0,120 m / s 4 ) t 3

    v = ( 0,75 m / s 3 ) t 2 - ( 0,0420 m / s 4 ) t 3

    Passo 3

    Agora, vamos montar a integral da posição:

    S = S 0 + ∫ 0 t v ⋅ d t

    Como v = v 0 + a t 2 2 :

        S = S 0 + ∫ 0 t ( 1 2 A t 2 - 1 3 B t 3 ) d t  

    S = 0 + 1 6 A t 3 - 1 12 B t 4

    S = 1 6 ⋅ 1,50 m / s 3 ⋅ t 3 - 1 12 ⋅ 0,120 m / s 4 ⋅ t 4

    ⇒ S = ( 0,25 m / s 3 ) ⋅ t 3 - ( 0,010 m / s 4 ) ⋅ t 4

    Passo 4

  2. No momento t , quando v é máximo, a derivada da velocidade em função do tempo deve ser igual a zero:

d v d x = 0

Desde que:

a = d v d t

A velocidade máxima é quando a = 0 .

Isso implica em:

a = d v d t = 0

Então,

A t - B t 2 = 0

Temos que t = 0 , mas a velocidade nesse tempo é igual a zero e não a velocidade máxima.

O outro tempo que podemos encontrar se dá por:

t = A B = 1,50 m / s 3 0,120 m / s 4 = 12,5 s

Então, vamos substituir o tempo encontrado na equação da velocidade em função de t do item (a):

v = ( 0,75 m / s 3 ) t 2 - ( 0,0420 m / s 4 ) t 3

v = ( 0,75 m / s 3 ) ( 1,25 s ) 2 - ( 0,0420 m / s 4 ) ( 1,25 s ) 3

v = 117,2 m s - 78,1 m s = 39,1 m / s

Resposta

  1. v = ( 0,75 m / s 3 ) t 2 - ( 0,0420 m / s 4 ) t 3

    2. S = ( 0,25 m / s 3 ) ⋅ t 3 - ( 0,010 m / s 4 ) ⋅ t 4

  2. v = 39,1 m / s
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