Circuitos de Mais de uma Malha

1. Primeira coisa que a gente faz aqui redesenhar esse circuito pra que ele fique um pouco mais bonitinho. Esse circuito aí é igualzinho a esse aqui. Se liga!

Agora a gente tem que dar aquele chutão pro sentido da corrente. Meu chute é esse aqui!

Tem como a gente descobrir logo o valor de ,não tem não?

Só calcular a resistência equivalente aqui que ta bem fácil, já que os três resistores estão em paralelo entre sim, que por sua vez estão em série com .

Agora é só usar a Lei de Ohm.

Presta bem atenção nesse trecho aqui.

São três resistores iguais, isso significa dizer que as três correntes são iguais. :P

Pela Lei dos nós de Kirchhoff, teremos que:

Mas como são todas iguais

b)

Como a corrente sempre vai da placa de maior para o menor potencial, podemos garantir que o sentido da corrente que eu escolhi está certo, pois lá na fonte a disposição das placas positiva e negativa nos diz isso aí. Mas se houvesse várias fontes aí sim teríamos que usar a Lei das Malhas também.

Poderíamos usar a Lei das Malhas nessa questão, mas aí iria render um sisteminha bem grande e queremos treinar você pra se garantir em todas formas possíveis! :}

Pra começar, vamos adotar um sentido arbitrário para a corrente do circuito, aí conforme formos calculando os valores das correntes em cada resistor, existem duas possibilidades:

1. Se o valor da corrente for positiva, significa que o sentido que escolhemos estava certo!



2. Se o valor da corrente for negativa, significa que o sentido que escolhemos estava errado...

Mas não precisa se preocupar em voltar e corrigir, uma vez que você deixou claro o sentido que você escolheu, encontrar um valor negativo pra corrente não tem problema.

Bom, o sentido que vamos escolher é esse aqui:

Vamos analisar cada malha separadamente, beleza?

Antes de começar, vale lembrar que, quando a corrente passa por uma FEM, existem duas possibilidades:

1. Se ela passar primeiro pela barra menor e depois pela barra maior, a voltagem vai ser positiva;
2. Se ela passar primeiro pela barra maior e depois pela barra menor, a voltagem vai ser negativa;

Agora sim, vamos lá!

Malha I:

Onde:

;

;

;

;

Logo:

Malha II:

Onde:

;

;

Logo:

e o sinal negativo aqui significa que escolhemos o sentido dessa corrente contrário ao correto, mas o módulo da corrente é, de fato, .

A voltagem entre os pontos e é dada por:

Onde:

;

;

Logo:

Bem. Primeiro temos que entender o que é porquê de a questão querer que a gente use o gráfico do lado direito.

Ele dá um gráfico de . Se calculássemos a área abaixo do gráfico, teríamos a potência, certo? Já que .

Se calculássemos a reta tangente encontraríamos a resistência, já que .

É interessante usar a potência, nessa questão? Acho que não, né?

Mas o valor das resistências podem nos ajudar bastante a resolver essa questão. Vamos calcula-las?

Agora a gente deve chutar um sentido pra corrente. Vou chutar esse aqui!

Usando a Lei das Malhas,na malha da direita, teremos:

Agora, aplicando a Lei dos Nós no nó que fica logo após , teremos:

Mas, pera! Quem é ?

Da pra calcular com a resistência equivalente!

Assim, pela Lei de Ohm, teremos:

Agora puxando a equação da Lei dos nós, teremos:

Mas também sabemos que:

Beleza, vamos começar encontrando uma expressão para a corrente na fonte. Depois, nós vamos adicionar mais um resistor a esse arranjo, calcular a nova corrente e comparar as duas.

Beleza?

Então partiu!

Pra calcular a corrente na fonte, utilizamos a Lei de Ohm para a resistência equivalente do circuito.

Para calcular a resistência equivalente, vamos começar pelo arranjo que resistores em paralelo.

Como se tratam de resistores, nós teremos termos no lado direito da igualdade acima. Logo:

Por fim, a resistência equivalente do sistema será:

Com a resistência equivalente calculada, a corrente na fonte será dada por:

Show! Agora vamos adicionar mais um resistor ao arranjo de resistores em paralelo e calcular a nova corrente .

Seguindo o mesmo raciocínio que usamos anteriormente:

Agora, como temos resistores, teremos termos no lado direito da igualdade.

Assim, a resistência equivalente do circuito será:

Agora, a nova corrente na fonte será:

O problema falou que, quando adicionamos mais um resistor ao arranjo de resistores, a diferença de corrente é de . Logo:

Agora vamos substituir tudo, arrumar e ver se conseguimos resolver a nossa vida aqui.

Logo de cara, pra simplificar isso aqui, podemos sumir com todos os nos numeradores de com os dos denominadores.

Antes de você ficar tenso porque tem um monte de número com vírgula e calcular os valores de vai ser um saco, tem um jeito de tentar simplificar um pouco isso aqui.

Pra começar, vamos multiplicar todos os termos por pra sumir com as vírgulas:

Agora podemos dividir todos os termos por que é o máximo divisor comum a todos esses caras:

Agora só temos que encontrar a solução dessa equação de segundo grau usando Bhaskara.

Resolvendo isso, vamos achar 2 valores de .

Só que o valor de não pode ser negativo. Logo:

Primeiramente tenho uma palavra a dizer.

Como diria a minha vó: “Que mulesta é isso, menino?

Agora é a hora que tu pensa: “ Esse cara do Responde Aí ta de sacanagem em me colocar pra resolver um exercício desse tamanho”.

Aí eu te digo, dá pra resolver de cabeça! :P

O ideal aqui é achar uma malha de fácil resolução , já que será impossível fazer diversas malhas assim.

Gosta de labirinto? Vamos tentar achar um caminho em que só passe por fontes, sem resistências. #Partiu?

Achei esse aqui, oh!

Viu? Fechou uma malha!

Chutando um sentido pra corrente, teremos:

Aplicando a Lei das Malhas nessa malha aí, teremos:

Ah, esse vem da resistência equivalente daqueles resistores em paralelo que estão logo abaixo da corrente na figura.

Assim ,teremos que:

Mas como o único ramo que tem naquele ponto ali é o qual está passando .

Como em nossas contas, o , o sentido da corrente estava certo, e naquele ramo vai de baixo para cima.

A gente tem dois valores de correntes, cujos sentidos já foram informados, em vermelho, na Figura. Então, olhando para o ponto do circuito, chega a corrente de e sai uma outra corrente de valor .

Se usamos a lei dos nóis em , então chega uma corrente de que, somada à outra de , resulta em uma de . Além disso, essa corrente em verde flui de para . Tranquilo?

Agora, vamos olhar para a malha em verde na Figura acima. Partindo do ponto e percorrendo essa malha em verde no sentido anti-horário e voltando para o ponto , temos, aplicando a lei das malhas:

em que indicamos as unidades para facilitar que você veja cada elemento do circuito nessa malha . Reforçando, começamos do ponto e voltamos ao ponto , por isso, depois de uma volta completa, temos zero, blz?

Dessa expressão, a gente consegue tirar o valor da fem , que é:

Para calcular o valor da outra fem , utilizamos a outra malha indicada na cor laranha na Figura acima, que está no sentido anti-horário. De novo, partindo do ponto e voltando para o ponto , teremos:

Como , teremos que

Para fechar, vamos tomar o trecho do circuito de para apenas. Se o potencial do ponto é e o de é , então:

Portanto, a diferença de potencial de em relação a é dada por

a) Como o exercício deu para gente três valores de corrente, bem como o sentido delas, ficou mais fácil para descobrirmos os valores das outras. Dá uma olhada na Figura abaixo.

Antes de olharmos para as malhas, considere primeiro o nó da Figura. Nesse ponto, chega a corrente de valor e sai outra de . Portanto, no sentido do ponto para , deve chegar outra corrente de valor . Blz?

Agora, olhando para o nó , saem desse ponto, duas correntes, uma de e outra de . Portanto, no sentido de para , tem uma corrente de . Tranquilo?

Olhando para o nó , saem as correntes e . Isso nos leva a concluir que de para , tem uma corrente cujo valor é . Essa é a corrente que passa no resistor de .

b) Vamos considerar a malha em verde na Figura acima. Percorrendo essa malha, no sentido anti-horário, partindo do nó e voltando a esse mesmo nó, teremos

Dessa expressão, a gente tira que:

Agora para a malha em azul na Figura acima, partindo do nó e volto para esse mesmo nó, termos que

que tem como resultado

c) Para obtermos a resistência , precisamos, agora, da malha representada em laranja na Figura acima. Saindo do ponto e voltando para esse mesmo ponto, teremos o seguinte:

Resolvendo essa equação, temos que

a) Nesse exercício, precisamos encontrar o valor das três correntes , e mostradas na Figura abaixo. Por isso, temos que ter também três equações.

Colocamos as correntes no sentido indicado, como chegando no nó e e saindo desse nó, de maneira que a gente tenha, a partir da lei dos nós, que:

Agora tomando a malha indicada, que está no sentido anti-horário, saindo do nó e voltando para esse ponto, teremos:

Reorganizando essa equação

Aplicando a leis das malhas para a malha , de novo saindo do nó e voltando a esse ponto, chegamos a

Portanto, o sistema que a gente tem que resolver é o seguinte:

a) Continuando...

Vamos resolver o sistema acima. Se substituímos a primeira equação na segunda, obtemos as duas equações abaixo

Multiplicando a primeira equação acima por 2 e somando com a segunda equação, vamos ter que:

Substituindo esse valor na primeira das equa�es acima, tiramos o valor da corrente

Como , então

b) Partindo do ponto indicado na Figura, até o ponto , no sentido anti-horário e tomando a malha, teremos que

Substituindo os valores que encontramos para as correntes,