Condutor Carregado

Lembrar que, como o satélite é feito de metal, o material é condutor e, por isso, as cargas se concentram todas em sua superfície e de maneira uniforme. Por isso, podemos calcular a densidade superficial simplesmente dividindo a carga pela área:

Para calcular o módulo do campo elétrico nas vizinhanças do satélite, podemos usar a fórmula:

Para os raio menores, o fluxo elétrico se encontra estabilizado em . Esses fluxos são aqueles gerados pelas menores gaussianas possíveis: aquelas que estão dentro da casca esférica .

Como essas gaussianas possuem apenas a carga central dentro delas, podemos utilizar com essa informação a lei de Gauss no caso em que

Atenção: olhando o gráfico, vemos que cada escala vale pois ocorre uma variação de a cada escalas.

Isolando a carga:

Quando aumentamos o raio aos poucos, durante um trecho pequeno o fluxo fica igual a . Aqui a gente precisa interpretar. Isso acontece quando a distância está dentro da casca esférica ou dentro da casca esférica .

Nesses casos, o efeito blindagem do metal impede que existam campos elétricos no interior dele e isso acontece porque todas as cargas correm para a superfície numa disposição que zera o campo elétrico dentro das cascas.

Se a carga de dentro valer , a carga induzida na superfície interior da casca vale como já vimos na parte de indução eletroestática.

O campo dentro da casca precisa ser nulo porque, se não fosse, haveria cargas se movendo no interior da casca, e isso não acontece pois as únicas cargas que encontramos se encontram na parte superficial do metal!

Quando o raio se encontra entre a menor e a maior casca esférica, o valor de precisa incluir tanto a carga de quanto a carga que está no centro das duas cascas. Por isso, esse tipo de problema tem que ser resolvido de dentro para fora.

Dessa forma a gente consegue encontrar o valor das cargas em cada passo de maneira mais rápida!

Nesse caso:

Depois de aumentar um raio mais um pouquinho, enquanto o raio se encontra dentro da casca esférica , o fluxo continua dando e a razão é a mesma: o efeito blindagem – o campo elétrico no interior de metais condutores é sempre nulo no equilíbrio.

Agora, quando saímos da segunda casca esférica e chegamos à região mais à direita do gráfico, o fluxo se estabiliza em . Quando aplicarmos o teorema de Gauss agora, devemos incluis as três cargas: das duas cascas e da carga puntiforme lá de dentro. Então:

Só falta agora substituir e correr pro abraço!

Nas proximidades de um condutor, o campo elétrico vale e isso acontece porque, nas proximidades de um condutor, podemos calcular o campo elétrico de forma similar ao cálculo do campo em uma superfície plana e infinita.

Uma superfície gaussiana plana permite que cheguemos a essa conclusão, como foi visto na teoria.

Então:

Também se fala sobre esse tipo de questão lá em indução eletroestática, onde nós apresentamos o efeito blindagem. O lance é que ele também pode ser deduzido por meio da lei de Gauss.

Olha essa gaussiana vermelha, bem no interior do condutor. Como não pode existir campo elétrico nesse interior, o fluxo na gaussiana vermelha é zero. Logo:

Mas é a soma entre as cargas azuis, induzidas no interior da casca e a carga puntiforme dentro da casca. Logo:

Como não as cargas não podem ficar no interior do condutor quando este alcança o equilíbrio eletroestático, todo o resto das cargas pulam para fora. Pela conservação das cargas:

a) Como a casca esférica externa é condutora, o campo elétrico no interior dela, no equilíbrio eletrostático, é zero. Ou seja, no interior da região verde da Figura, o campo elétrico é zero e qualquer excesso de carga nessa casca vai para a superfície dela.

O mesmo acontece com a esfera sólida que está dentro da casca. A carga dela está uniformemente distribuída sobre sua superfície e não tem campo elétrico dentro dessa esfera sólida.

Bom, como a carga líquida de todo o sistema é , então, uma carga de vai ficar na superfície interna da casca esférica, no equilíbrio eletrostático, como está na Figura abaixo. O restante da carga total da casca esférica, que é , vai para a sua superfície externa.

b) Agora, dá uma olhada na Figura acima. Se a gente conectar um fio condutor entre a superfície da esfera condutora sólida e superfície interna da casca condutora, haverá um cancelamento das cargas e após o equilíbrio eletrostático ser restabelecido e restará apenas a carga sobre a superfície externa da casca esférica, que não é alterada.

Nessa situação, não haverá campo elétrico entre as esferas, já que haverá cancelamento das cargas por causa do fio condutor, mas haverá campo elétrico na parte externa à casca esférica, já que esta, independentemente do fio condutor, permanece com carga .

Para obtermos como é o campo elétrico na região , basta lembrarmos que, como a esfera sólida é condutora, o campo elétrico no interior dela é nulo e toda carga em excesso que ela tiver vai para sua superfície.

Na região , existe um campo elétrico produzido pela carga que está distribuída sobre a superfície da esfera sólida interna. Portanto, nessa região, o campo elétrico será idêntico àquele produzido por uma que está concentrada no centro da esfera sólida.

Por isso, o módulo do campo elétrico em será

isto é, o campo será idêntico ao que seria produzido por uma carga puntiforme no centro da esfera condutora sólida. Se a carga é positiva, , o vetor campo elétrico vai apontar na direção do raio da esfera com sentido saindo da carga, isto é,

Se ,   terá sentido contrário ao vetor  .

Em , podemos fazer uma gaussiana esférica envolvendo as duas esferas e, como dentro dessa gaussiana haverá uma carga de valor , o campo elétrico produzido será

que, por causa da simetria esférica, é idêntico ao campo que seria produzido caso uma carga estivesse localizada no centro das esferas. Por isso,

a) Como ambas as cascas são condutoras, fica mais fácil analisar como fica o campo elétrico em cada região. Por exemplo, como a casca condutora menor tem uma carga positiva de , o campo elétrico em toda a região é nulo, já que toda essa carga vai para a superfície da casca condutora menor.

i) e ii) Portanto, tanto para , quanto para , o campo elétrico é nulo, ou seja, .

iii) Agora, dentro da região , existe a carga que está sobre a superfície da casca esférica menor. Portanto, o campo nessa região é idêntico àquele que seria produzido caso a carga estivesse localizada no centro da Figura. Por isso,

Tranquilo??

iv) Continuando, a gente tem também uma outra casca esférica condutora de raio que possui uma carga total de . Mas, de novo, como é uma casca condutora, dentro dela na região não há campo elétrico, ou seja, para essa região.

v) Por último, na região , se fazemos uma superfície gaussiana esférica englobando as duas cascas, notamos que dentro dessa gaussiana há uma carga total de , que é a soma da carga da casca interna com a da casca externa. Por isso, o campo elétrico nesse caso é

b) Para o caso das cargas, como não há campo elétrico na região para então

1. A carga elétrica é nula;
2. Já na superfície externa da casca esférica menor, a carga é .

Agora, como a casca esférica maior tem uma carga total de e existe uma carga interna a ela na superfície externa da casca condutora menor, na superfície interna da casca esférica maior (em ) haverá, no equilíbrio eletrostático, uma carga negativa que será induzida pela carga que está na casca esférica menor. Blz?

Portanto,

iii) Carga elétrica negativa .

Por último, isso significa também que, na superfície externa da casca esférica maior haverá uma carga positiva . Só para confirmar, a carga total da casca esférica maior é , como deveria ser, correto? Então,

iv) Carga elétrica positiva de .

Primeiramente temos que lembrar que dentro de um condutor o campo elétrico é sempre zero.

Se traçarmos uma gaussiana (em laranja) esférica concêntrica dentro do condutor, o campo elétrico deverá ser zero.

Aplicamos a lei de gauss:

Como temos uma simetria esférica vamos ficar com a expressão: .

Como a gaussiana está localizada no interior de um condutor, o campo elétrico é zero e então:

Mas a carga no interior da nossa gaussiana é dada pela soma da carga da partícula no centro da esfera MAIS as cargas localizadas na superfície esférica interna:

Rearranjando, temos:

Como a carga total da esfera condutora é , toda esta carga estará na superfície interna e nenhuma estará na superfície externa.

Finalmente, se traçarmos uma gaussiana esférica concêntrica passando pelo ponto P e aplicando a lei de gauss novamente, teremos que a carga interna é igual a zero pois:

E, portanto, o campo elétrico será zero também:

Portanto, temos que o campo elétrico no ponto P é igual a zero e não há cargas na superfície externa da esfera.

A alternativa correta é a letra (e).