Como sabemos que a configuração do campo de uma carga pontual é radial e esférico, escolhemos uma Gaussiana esférica de raio arbitrário , centrada na carga pontual. Pela lei de Gauss:

Sabemos que a carga interna à gaussiana é a carga , portanto:

Por termos escolhido uma Gaussiana esférica, o vetor campo e o vetor são paralelos em toda a , portanto:

Segue que:

Pela configuração do campo, temos que o módulo dele é constante em toda , portanto podemos tirá-lo da integral:

Como essa integral é a área da Gaussiana:

Temos que:

Pois se trata da superfície de uma esfera de raio arbitrário . Portanto:

Isolando:

Encontramos o valor do módulo do campo. Para achar o vetor, basta multiplicar por (r chapéu) que é o vetor unitário radial, pois já sabíamos que o campo era radial pra começo de conversa. Segue que:

Sabemos que o campo de uma esfera carregada tem configuração radial e simetria esférica, portanto escolhemos uma Gaussiana esférica de raio arbitrário . Portanto enunciamos a lei de Gauss:

Sabemos que a carga interna à Gaussiana neste caso é somente a carga total da esfera. Portanto vamos descobrir essa grandeza. Utilizando a expressão da densidade volumar:

Onde é uma unidade infinitesimal de volume. Isolando a quantidade infinitesimal de carga e integrando em toda a Gaussiana somente (pois é dentro dela que queremos achar a carga):

*Só um lembrete bobo. Repare que eu pus uma apóstrofe no dentro da integral. Sempre que a variável do limite de integração for a mesma do integrando, mude uma das duas. Agora não é hora de perguntar o porquê, só decore isso (não que vá acarretar numa perda de muitos pontos, mas vale à pena comentar).

Sabemos que, como já vimos anteriormente:

Substituindo e integrando (lembrando de mudar a variável na integral):

Por conta da forma da Gaussiana escolhida e da configuração do campo, temos que o vetor de campo e o vetor normal são paralelos em toda , portanto:

Segue que:

Também pela configuração do campo, sabemos que o seu módulo é constante em toda :

Portanto podemos tirá-lo da integral:

A integral de em toda é a área dela, portanto, como se trata da superfície de uma esfera de raio , temos:

Segue que:

Isolando:

Substituindo e multiplicando pelo vetor unitário radial:

Sabemos que o campo de uma esfera carregada tem configuração radial e simetria esférica, portanto escolhemos uma Gaussiana esférica de raio arbitrário . Portanto enunciamos a lei de Gauss:

Sabemos que a carga interna à Gaussiana neste caso é somente a carga total da esfera. Portanto vamos descobrir essa grandeza. Utilizando a expressão da densidade volumétrica:

Onde é uma unidade infinitesimal de volume. Isolando a quantidade infinitesimal de carga e integrando em toda esfera:

Beleza, a expressão para a densidade nós temos, pois é um dado. Agora esse fica meio solto. Recordemos do capítulo de densidade de cargas como fazer: como estamos tratando de coordenadas esféricas, supomos o volume arbitrário como sendo uma esfera de raio qualquer . Seu volume é:

Logo, derivando:

Substituindo e integrando:

Por conta da forma da Gaussiana escolhida e da configuração do campo, temos que o vetor de campo e o vetor normal são paralelos em toda , portanto:

Segue que:

Também pela configuração do campo, sabemos que o seu módulo é constante em toda :

Portanto podemos tirá-lo da integral:

A integral de em toda é a área dela, portanto, como se trata da superfície de uma esfera de raio , temos:

Segue que:

Isolando:

Substituindo tudo:

O vetor é, portanto:

a) Que cargas aparecem nas superfícies interna e externa do cano?

O que acontece aqui é que, quando colocamos o fio com carga no interior do cano cilíndrico, o fio atrai as cargas positivas do cano para a superfície interna e repele as cargas negativas do cano para a superfície externa.

No equilíbrio eletrostático, a carga da superfície interna deve ser, necessariamente:

Entretanto, o cano deve manter a sua carga inicial, que nesse caso é zero (já que está descarregado).

Assim, a soma das cargas da superfície interna e da superfície externa deve ser igual a zero. Logo:

b) Utilize a Lei de Gauss para calcular o vetor campo elétrico para , e ;

A Lei de Gauss é dada por:

Simplificando a Lei de Gauss, teremos:

Onde é a área da nossa gaussiana, por onde passará o campo elétrico. Como se trata de uma geometria cilíndrica, a gaussiana será um cilindro de raio e comprimento , cuja área será dada por .

Logo:

Pra finalizar, como estamos trabalhando com geometria cilíndrica, o campo elétrico terá sempre direção radial. Assim:

Agora, o nosso trabalho é determinar a carga interna à gaussiana para cada situação.

-

Essa região engloba somente o fio carregado, logo:

Assim, o campo elétrico será dado por:

-

Essa região engloba o fio carregado e a superfície interna do cano cilíndrico, logo:

Logo:

-

Essa região engloba o fio carregado e o cano cilíndrico descarregado, logo:

Assim:

1. O módulo do campo elétrico a uma distância radial ;

Show de bola! Se , significa que estamos querendo calcular o campo elétrico fora do meu sólido.

Como se trata de um cilindro, podemos escolher como a nossa gaussiana um cilindro de raio e comprimento , assim a gente resolve a nossa vida.

Matematicamente, a Lei de Gauss é a seguinte fórmula:

E como no cilindro que nós escolhemos como gaussiana, o campo elétrico é constante e perpendicular à superfície, podemos reescrever a Lei de Gauss dessa maneira:

Foi tranquilo até aqui?

Passo 2

Bom, agora vamos ver o que falta pra encontrarmos o valor do campo elétrico.

Lembrando que a nossa gaussiana se trata de um cilindro de raio e de comprimento , a área superficial é dada por

Onde:

;

;

Como a nossa gaussiana engloba todo o fio condutor, a carga interna total vai ser igual à soma das cargas da barra com a casca. Sendo assim:

Onde:

;

;

Agora é só jogar na fórmula que encontramos:

Lembrando que .

Como estamos interessados no módulo do campo elétrico:

Passo 3

2. A direção (para dentro ou para fora) do campo elétrico a uma distância radial ;

Lembra que no item anterior, quando calculamos o campo elétrico nós encontramos um valor negativo?

Isso aconteceu porque a carga interna total da nossa gaussiana é negativa.

Portanto, o campo elétrico vai estar na direção radial, apontando para dentro da gaussiana.

Passo 4

3. O módulo do campo elétrico a uma distância radial ;

O raciocínio é o mesmo que usamos anteriormente. Então, a nossa gaussiana vai ser um cilindro de raio e de comprimento .

Assim, a área lateral vai ser dada por:

Onde:

;

;

A diferença agora é que, analisando os dados do problema, agora a nossa gaussiana vai ser um cilindro que vai estar entre a barra e a casca.

Entretanto, como a única carga que nos interessa, de acordo com a Lei de Gauss, é a carga no interior da gaussiana, a carga interna total agora vai ser

Agora, novamente, é só jogar na fórmula:

Passo 5

4. A direção (para dentro ou para fora) do campo elétrico a uma distância radial ;

Lembra que no item anterior, quando calculamos o campo elétrico nós encontramos um valor positivo?

Isso aconteceu porque a carga interna total da nossa gaussiana é positiva.

Portanto, o campo elétrico vai estar na direção radial, apontando para fora da gaussiana.

Passo 6

5. A carga na superfície interna da casca;

O que acontece é o seguinte... se não tivesse nenhuma carga no interior da casca, quando olhássemos de frente, as cargas na casca carregada teriam essa distribuição:



Mas como existe carga no interior da casca carregada, haverá uma distribuição parecida com esta:



Isso acontece porque a carga no interior atrai o mesmo número de cargas que correspondente ao seu valor, mas de sinais opostos.

Assim, se no interior da casca existe a barra de carga , na superfície interna da casca, haverá uma carga de

Passo 7

6. A carga na superfície externa da casca;

Vamos continuar o raciocínio do item anterior, ok?

Já sabemos que a casca possui uma carga de , certo? (tá no enunciado)

Então não importa como as cargas estejam distribuídas na casca cilíndrica, a carga total deve ser sempre a mesma .

Isso significa que:

Para matar essa questão, vamos começar lembrando da linda Lady Gauss!

Para questões com cilindros carregados ou fios condutores, sempre utilizaremos uma gaussiana cilíndrica. Pois assim, o campo será sempre radial, e aponta na mesma direção que . Além do fato de que nas tampas o vetor campo é perpendicular ao vetor área e o produto escalar dá zero! Levando isso em conta, temos:

Onde é a área da superfície lateral da gaussiana cilíndrica, ou seja:

Onde é o raio da gaussiana e sua altura. Voltando à Lei de Gauss, temos:

Para , temos:

Precisamos agora determinar em função de , pois é isso que conhecemos! Como estamos na região fora do cilindro carregado, temos:

Substituindo na Lei de Gauss, temos:

Como a direção do vetor campo elétrico é radial, indicamos por esse vetor unitário !

Para , temos:

Considerando que a carga esta distribuída uniformemente pela área do cilindro, temos agora que a carga interna varia para , que pode ser encontrada da seguinte forma:

Substituindo na Lei de Gauss, temos:

Novamente na direção radial!

Vamos agora testar na borda do cilindro, as duas equações achadas para o campo elétrico devem dar a mesma resposta em , veremos:

Para , temos:

Para  , temos:

Portanto:

Primeiramente um desenho para ilustrar o aspecto do campo de um plano infinito carregado. Sabemos, pois decoramos, que ele é uniforme e estacionário (na primeira prova tudo é estacionário):

Agora enunciamos a lei de Gauss para tentar calcular o campo elétrico:

Escolhendo uma Gaussiana cilíndrica (prisma), podemos simplificar o cálculo do fluxo:

Como os vetores normais são perpendiculares ao campo na lateral, temos somente o fluxo correspondente às tampas. Tenham elas área igual à :

Pela configuração do campo, ele tem módulo constante em toda , portanto:

Substituindo:

A integral de nas tampas é igual à área delas :

Portanto o campo é:

Agora precisamos nos livrar dessa carga interna à Gaussiana, que é uma quantidade desconhecida. Como a densidade é constante, temos:

Logo:

Podemos então substituir:

Que resulta em:

E o módulo do campo é este. Se fosse pedido o vetor campo, precisaríamos de alguma espécie de sistema de coordenadas para poder especificar a direção deste, pois acima do plano carregado o vetor aponta para cima e abaixo do plano o vetor aponta para baixo. Se fosse o caso de termos um eixo alinhado ao campo, teríamos:

De onde segue:

As duas placas infinitas geram campos elétricos uniformes com os módulos iguais. Isso ocorre porque a densidade superficial das duas é a mesma. Logo o módulo do campo gerado por cada placa é igual a:

O nosso problema se resume a olhar bem a direção dos vetores campo elétrico em cada região e procurar entender o que está acontecendo.

Sabemos que uma placa positiva gera um campo que sai dela.

Nas regiões que estão acima das duas placas e abaixo das duas placas, os campos estão no mesmo sentido, saindo das placas. Já na região entre as placas, os campos têm sentidos contrários e se anulam.

Assim:

Como o campo sai das placas positivas, na região acima das placas, o campo resultante aponta para cima e na região abaixo das placas, ele aponta para baixo.