Enunciado
Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 10ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 10º - Capítulo 14.7 - Ex. 71
A figura mostra um jorro d’água saindo por um furo a uma distância da superfície de tanque que contém de água. (a) A que distância a água atinge o solo? (b) A que profundidade deve ser feito um segundo furo para que o valor de seja o mesmo? (c) A que profundidade deve ser feito um furo para que o valor de seja o maior possível?
Passo 1
Falaaa galerinha do RespondeAí, tudo certinho?
Na letra (a) queremos descobrir qual distância um jorro d’água atinge quando ele parte de uma profundidade em um tanque. Pra isso precisamos saber a que velocidade ele sai do tanque.
É só a gente aplicar a equação de Bernoulli ao furo e à superfície da água:
As duas pressões são iguais e a velocidade na superfície é zero então a fórmula fica:
Cortando a densidade, fazendo e isolando a velocidade, achamos a fórmula para a velocidade no furo:
Essa fórmula aparece bastante, então a gente saber ela de cabeça pode ser uma boa pra economizar tempo na hora da prova.
Passo 2
Agora que temos a velocidade, vira um problema de Física I. Lá a gente aprendeu que o movimento horizontal e o vertical são independentes, vamos usar isso aqui.
A distância que o jorro d’água percorre até chegar no chão é:
Onde é o tempo total do movimento. E quem cria um limite pra duração do movimento? A gravidade, que faz o jorro cair em direção ao chão. Vamos usar uma fórmula conhecida pra achar quanto tempo isso leva.
Como a velocidade inicial é toda na horizontal, vamos ter . E a altura de onde o jorro cai é
E a fórmula do fica:
Agora substituindo o que achamos pra velocidade:
Substituindo os valores:
E essa é a resposta da letra (a).
Passo 3
Na letra (b) podemos aproveitar a fórmula que acabamos de achar. A questão quer saber a qual profundidade podemos fazer um segundo furo que dê o mesmo valor de .
Na nossa fórmula, a profundidade do furo é dada por , então queremos:
Vamos ver quantas soluções conseguimos achar pra essa equação. Elevando tudo ao quadrado:
Substituindo
Dividindo tudo por e arredondando:
Uma das raízes é a profundidade que a própria questão deu: , podemos usar isso pra facilitar a identificação da segunda raiz:
Pronto, a segunda raiz e .
E essa é a resposta do item (b).
Passo 4
Na letra (c) podemos continuar usando nossa fórmula, mas agora queremos saber qual a profundidade que maximiza o valor de . Nossa função é:
Como maximizamos uma função? Tranquilo, é só derivar e procurar os pontos críticos.
Precisamos usar a regra da cadeira para derivar em relação à . Fazendo a derivada daquela raiz inteira vezes a derivada do que está dentro da raiz
Pra achar os pontos críticos da função, vamos igualar essa derivada a zero:
Substituindo
E a única raiz da equação é a que faz o numerador ser zero:
Fazendo um gráfico dá pra ver que esse é realmente o valor que maximiza a função:
Resposta
(a)
(b)
(c)