Queremos saber como a velocidade do fluido varia quando o diâmetro do tubo é reduzido á metade.

Pela equação da continuidade:

Como se trata de um tubo, podemos calcular as áreas em função dos diâmetros:

Substituindo na equação da continuidade:

Separando velocidades para um lado e os diâmetros para o outro:

Agora podemos substituir a relação entre os diâmetros.

Como o diâmetro reduz-se à metade, então:

Ou seja:

Substituindo na expressão que encontramos:

Logo, a velocidade após o estrangulamento é multiplicada por .

Pra gente entender o que acontece com a vazão volumétrica precisamos analisar o que acontece com o fluído no percurso e encontrar um jeito de relacionar a vazão volumétrica com a densidade. A equação que relaciona essa galera é a equação da continuidade que diz que a vazão mássica se conserva:

Onde e são as densidades do fluído em cada ponto.

e são as vazões volumétricas de cada ponto e também podem ser escritas como:

Da equação da continuidade a gente pode reescrever a vazão em função das densidades:

Agora que a gente já sabe como calcular a vazão no ponto 2, mãos á obra.

O problema disse que a densidade cresce do ponto 1 ao 2. Isso quer dizer que ela passou a ser o valor antigo mais do valor antigo . Ou seja:

E como a gente já trouxe a relação com a vazão volumétrica basta a gente substituir a densidade na equação;

Ou seja, a vazão volumétrica no ponto 2 será cerca de da vazão volumétrica no ponto 1.

a)

Bom, aqui é só aplicar:

Nós podemos calcular a área ali? Podemos!!

A área ali será dada por:

A vazão é dada por : . Assim:

b)

Nessa aqui vai ser a mesma coisa, só que agora queremos saber a área e temos a velocidade como informação.

Assim:

Como a área é dada por:

Aqui basta a gente aplicar o princípio da continuidade:

Onde é dado por:

E Aplicando a redução:

Agora, voltando à equação da continuidade:

Bom, a água está passando por dois lugares com áreas diferentes:

Mangueira com área valendo ; com velocidade ;

Borrifador com área valendo a soma das áreas de cada furo, logo ; e aqui queremos justamente saber a velocidade com que a água flui.

E para acharmos quanto vale essa velocidade de saída, podemos usar a equação da continuidade:

Fazendo essas continhas, vamos achar que .

1. Pelo princípio da continuidade: tudo que entra, sai. Portanto, o que está passando pelos 3 canos menores deve ser igual ao que está passando pelo cano maior. Então:

Passo 2

2. Sabendo que a vazão é dada por:

Teremos:

E relacionando essa equação para o cano maior de de diâmetro, com , e o menor de de diâmetro, com :

Bom, o esquema dessa questão é o seguinte:

Existe uma vazão de entrada, a da água vem pelo cano, e várias vazões de saída.

Assim:

Mas todas as vazões de saída são iguais. Assim, podemos escrever:

Agora vamos calcular a vazão de entrada. É só fazer:

Bom, a área de cada saída é dada por:

Assim:

E é essa a velocidade de saída (:

Bom, primeiro vamos lembrar como podemos calcular a potência:

Ou seja, o quanto variou a energia num tempo.

As energias que vamos ter nessa situação são a potencial gravitacional e a cinética. Logo:

Substituindo na equação da potência:

Opa! Só que como a massa varia no tempo () é justamente . E .

Vamos substituir isso na fórmula:

E isso vai nos dar que: