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Equação de Bernoulli

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Teoria

Equação de Bernoulli descreve o comportamento do escoamento de um fluido. Ela é obtida a partir do Teorema da Conservação de Energia Mecânica.

Pra ficar mais claro, se liga nessa imagem aqui:

Escoamento em regime permanente
Escoamento em regime permanente

No ponto (1), temos um fluido de densidade com velocidade escoando a uma altura sob pressão , da mesma maneira ocorre com o ponto (2), de forma que a equação de Bernoulli relaciona essas propriedades como:

Equação de Bernoulli : Unidade de pressão
Equação de Bernoulli : Unidade de pressão

Onde: , e são a pressão, massa específica e velocidade do fluido. é a altura em relação a um referencial e é a aceleração da gravidade.

A fórmula é bem grandinha, mas as variáveis dela são bem conhecidas, então aqui vai uma dica! Como estamos falando de uma soma, cada conjunto coloridinho da fórmula acima tem que ter a mesma unidade que os outros, nesse caso unidade de pressão!

Ou talvez você encontre a equação de Bernoulli representada dessa forma aqui:

Equação de Bernoulli: Unidade de comprimento
Equação de Bernoulli: Unidade de comprimento

Nesse caso dividimos tudo por e as unidades das somas ficam em unidade de comprimento!

Se liga nesse vídeo super completo sobre Equação de Bernoulli, que o Responde Aí preparou pra você 🧡

📢 Clique para saber mais:

Quais são as condições para a aplicação da equação de Bernoulli?

Para a gente poder aplicar a equação de Bernoulli, temos que considerar algumas hipóteses:

  • Escoamento em regime permanente;
  • Escoamento incompressível (Densidade constante ao longo do escoamento);
  • Escoamento sem viscosidade.

Exercício: Calcule o entre os pontos e

Bora aplicar os conhecimentos em um exemplo pra tudo ficar mais claro?!

Pra isso a gente vai considerar o escoamento que vimos lá em cima e vamos calcular a diferença de pressão entre os pontos e :

Exemplo: Equação de Bernoulli
Exemplo: Equação de Bernoulli

Pra isso vamos isolar na equação de Bernoulli :

Como então já zeramos o segundo termo da soma! Substituindo os valores, teremos que:

Calculamos, chegamos em:

Ou seja, se a variação de pressão foi negativa, quer dizer que a pressão do ponto é maior que pressão no ponto .

Só que se a gente olhar a imagem do exemplo, vemos que o diâmetro do ponto é menor que o ponto , portanto sua velocidade é maior. Poderíamos imaginar que isso faria sua pressão ser maior também!

Mas não! 😱😱😱

Como o avião se sustenta no ar?

Quando comparamos dois pontos, em um escoamento contínuo, quanto maior for a velocidade de um ponto, menor será sua pressão! Essa característica da equação de Bernoulli explica porque os aviões se mantêm no ar!!!

Princípio de Bernoulli: Avião
Princípio de Bernoulli: Avião

Na imagem acima vemos um esquema da asa de um avião. Podemos observar que como a parte de cima é curvada o caminho que o vento tem que percorrer é maior. Como o escoamento é contínuo, o ar que percorre a parte superior da asa deve chegar junto com o ar que percorre a parte inferior da asa. Dessa forma a velocidade do vento na parte superior da asa deve ser maior, consequentemente teremos uma pressão mais baixa na parte superior da asa em comparação com a inferior, fazendo com que o avião se sustente no ar!

Maneiro, não é?! Agora vamos praticar com exercícios resolvidos?

Quais são as condições para a aplicação da equação de Bernoulli?

Exercício: Calcule o entre os pontos e

Como o avião se sustenta no ar?

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Elaboração própria

Considere as afirmativas:

  1. Linhas de corrente determinam a direção, módulo e sentido do vetor velocidade em um ponto de um escoamento
  2. Linhas de corrente determinam a direção e o sentido do vetor velocidade em um ponto de um escoamento
  3. Linhas de corrente determinam apenas a direção do vetor velocidade em um ponto de um escoamento
  4. Quanto mais afastadas estiverem as linhas de corrente, maior é a velocidade de um escoamento
  5. Linhas de corrente não se cruzam

Quais delas são verdadeiras?

Passo 1

Analisando as três primeiras afirmativas:

Sabemos que o vetor velocidade é sempre tangente à linha de corrente em qualquer ponto. No entanto, o sentido e o módulo do vetor velocidade não são determinados pela linha de corrente. Só sabemos que a direção é tangencial à linha de corrente.

Logo, a única verdadeira é a afirmativa 3.

Passo 2

Analisando afirmativa 4:

Sabemos que, quanto mais próximas as linhas de corrente, maior é a velocidade do escoamento. É o contrário do que está dito na afirmativa 4.

Falsa.

Passo 3

Analisando afirmativa 5:

Verdadeira. Realmente, linhas de corrente não se cruzam, pois a direção da velocidade do fluido em cada ponto é tangente à linha de corrente.

Se tivéssemos um cruzamento de linhas de corrente, então teríamos duas direções em um único ponto, o que não pode acontecer.

Resposta

São verdadeiras as afirmativas 3 e 5.

Exercício Resolvido #2

Elaboração própria

Observe o escoamento abaixo. Onde a velocidade deve ser maior, em (1) ou em (2)? Por quê?

Passo 1

Sabemos que quanto mais próximas estiverem as linhas de corrente, maior a velocidade.

Portanto, podemos observar na figura que o ponto em que as linhas de corrente estão mais próximas corresponde ao ponto (2).

Logo, a velocidade em (2) é maior que a velocidade em (1).

Resposta

Em (2). Linhas de corrente estão mais próximas.

Exercício Resolvido #3

Elaboração própria

Podemos afirmar que, na figura abaixo, temos linhas de corrente? Por quê?

Passo 1

Não são linhas de corrente, pois elas se cruzam em alguns pontos.

Linhas de corrente não podem se cruzar, pois a direção da velocidade do fluido em cada ponto é tangente à linha de corrente.

Se tivéssemos um cruzamento de linhas de corrente, então teríamos duas direções em um único ponto, o que não pode acontecer.

Resposta

Não, pois as linhas se cruzam em alguns pontos.

Exercício Resolvido #4

UERJ-LISTA-MF-16-Modificado

A área de entrada do tubo inferior do reservatório indicado na figura a seguir vale 0,75   m 2 . A água entra neste tubo com uma velocidade de 0,40   m/s . No gerador, instalado a uma profundidade de 183   m abaixo do nível de entrada deste tubo, a área da seção reta é igual a 0,032   m 2 e a água escoa com uma velocidade de 9,4   m/s nesta saída. Calcule a diferença de pressão em N / m 2 entre a entrada e a saída. ρ H 2 O = 10 3   kg / m 3

g = 10   m / s 2

Passo 1

Nessa questão, utilizaremos a equação de Bernoulli:

p 1 + 1 2 ρ 1 v 1 2 + ρ 1 g h 1 = p 2 + 1 2 ρ 2 v 2 2 + ρ 2 g h 2

Primeiramente, vamos identificar as informações disponíveis e o que devemos descobrir:

O que sabemos:

v 1 = 0,40   m / s v 2 = 9,4   m / s h 1 = 183   m     h 2 = 0 ρ 1 = ρ 2 = ρ H 2 O = 10 3   kg / m 3

O que queremos saber:

∆ p = p 2 - p 1  

Note:

Consideramos o escoamento incompressível ( ρ 1 = ρ 2 ) , já que nada foi dito que contraria isso. Além disso, notou que não precisamos saber os valores das pressões e sim apenas a variação? Partiu calcular ∆ p ?(:

Passo 2

Bom, vamos agora aplicar os valores na equação:

p 1 + 1 2 ρ 1 v 1 2 + ρ 1 g h 1 = p 2 + 1 2 ρ 2 v 2 2 + ρ 2 g h 2

p 1 + 1 2 ⋅   10 3 ⋅   0,40 2 + 10 3 ⋅ 10 ⋅ 183 = p 2 + 1 2 ⋅ 10 3 ⋅ 9,4 2 + 10 3 ⋅ 10 ⋅ 0

1 2 ⋅   10 3 ⋅   0,40 2 + 10 3 ⋅ 10 ⋅ 183 - 1 2 ⋅ 10 3 ⋅ 9,4 2 = p 2 - p 1 = ∆ p  

Fazendo os cálculos, obtemos ∆ p = 1785900

Arredondando para um algarismo significativo após a vírgula:

∆ p = 1,8 ⋅ 10 6   Pa = 1,8.10 6 N / m 2

Lembrando que:

1 P a = 1 N / m 2

(:

Resposta

∆ p = 1,8 ⋅ 10 6 N / m 2

Exercício Resolvido #5

UFRJ-P1-2014.1

Um fluido incompressível escoa suavemente pela tubulação mostrada na figura.

Assinale as relações corretas para as pressões e as velocidades do fluido nos pontos 1 , 2 , 3 e 4 indicados na figura:

  1. p 1 > p 2 > p 3 > p 4 e v 1 > v 2 > v 3 > v 4
  2. p 1 = p 2 < p 3 = p 4 e v 1 > v 2 = v 3 > v 4
  3. p 1 > p 2 > p 3 > p 4 e v 1 < v 2 < v 3 < v 4
  4. p 1 < p 2 < p 3 < p 4 e v 1 > v 2 = v 3 > v 4

Passo 1

Para saber as relações entre pressões e velocidades, temos que aplicar a equação da continuidade (para velocidades) e a equação de Bernoulli (para pressões).

Vamos aplicar essas equações em cada par de pontos.

Passo 2

Equação da continuidade entre 1 e 2 :

A 1 v 1 = A 2 v 2

⇒ v 2 = A 1 A 2 v 1

Como A 1 < A 2 , então A 1 / A 2 < 1 .

Logo:

v 2 < v 1

Pelas alternativas, podemos eliminar a letra (c)!

Passo 3

Equação de Bernoulli entre 1 e 2 :

p 1 + 1 2 ρ v 1 2 + ρ g h 1 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2 + ρ g h 2

Os pontos 1 e 2 estão à mesma altura.

Então:

h 1 = h 2

Eliminando os termos “ ρ g h ” nas equação de Bernoulli, temos:

p 1 + 1 2 ρ v 1 2 = p 2 + 1 2 ρ v 2 2

⇒ p 1 + 1 2 ρ v 1 2 - 1 2 ρ v 2 2 = p 2

⇒ p 2 = p 1 + 1 2 ρ v 1 2 - v 2 2

Como v 1 > v 2 , então v 1 2 - v 2 2 > 0

Logo: p 2 > p 1

Pelas alternativas, podemos eliminar as letras (a) e (b).

Então fechou! Só restou a alternativa (d)!

Nem precisamos continuar a questão!

Passo 4

Mas se você quiser conferir, vamos fazer o resto, de um modo mais rápido:

Equação da continuidade entre 2 e 3 :

A 2 v 2 = A 3 v 3

Como as áreas são iguais:

v 2 = v 3

Passo 5

Equação de Bernoulli entre 2 e 3 :

p 2 + 1 2 ρ v 2 2 + ρ g h 2 = p 3 + 1 2 ρ v 3 2 + ρ g h 3

Como as velocidades são iguais:

p 2 + ρ g h 2 = p 3 + ρ g h 3

⇒ p 3 = p 2 + ρ g h 2 - h 3

Como h 2 > h 3 :

p 3 > p 2

Passo 6

Equação da continuidade entre 3 e 4 :

A 3 v 3 = A 4 v 4

Como A 3 < A 4 :

v 3 > v 4

Passo 7

Equação de Bernoulli entre 3 e 4 :

p 3 + 1 2 ρ v 3 2 + ρ g h 3 = p 4 + 1 2 ρ v 4 2 + ρ g h 4

Como h 3 = h 4 :

p 3 + 1 2 ρ v 3 2 = p 4 + 1 2 ρ v 4 2

⇒ p 4 = p 3 + 1 2 ρ v 3 2 - v 4 2

Como v 3 > v 4 :

p 4 > p 3

Passo 8

Ordenando as pressões e velocidades, encontramos exatamente como está na alternativa (d):

p 1 < p 2 < p 3 < p 4

v 1 > v 2 = v 3 > v 4

Resposta

Alternativa (d).

Exercício Resolvido #6

UFRJ-P1-2012.2-10

Suponha que um vento com velocidade v sopre sobre o telhado de uma casa, de seção reta com área A . Qual o peso mínimo do telhado para evitar que este se solte? Suponha conhecida a densidade ρ do ar.

  1. ρ v 2 A
  2. ρ v 2 A / 2
  3. 2 ρ v 2 A
  4. ρ v 2 A / 3  
  5. 2 ρ v 2 A / 3

Passo 1

Vamos considerar a parte azul do desenho abaixo o interior da casa, que tem uma pressão p 2 , e a parte que não tem cor como o exterior, onde passa o vento, e que tem pressão p 1 .

A parte vermelha representa o telhado:

Passo 2

O deslocamento do vento do lado de fora causa uma diferença de pressão. A partir dessa diferença de pressão que vamos calcular o peso mínimo que o telhado tem que ter.

Vamos usar Bernoulli entre o lado de fora e o de dentro, considerando que eles tem a mesma altura e que no lado de dentro o ar está parado:

p 1 + ρ v 1 2 2 + ρ g h 1 = p 2 + ρ v 2 2 2 + ρ g h 2

∴

p 1 + ρ v 2 2 = p 2   → ρ v 2 2 = p 2 - p 1 = ∆ p

∴

∆ p = ρ v 2 2

Show? Achamos uma diferença de pressão.

Passo 3

Essa diferença de pressão que vai gerar uma força no telhado que fará ele levantar, caso ele não seja pesado o suficiente. Como o telhado tem área A :

F s u s t e n t a ç ã o = ∆ p . A = ρ v 2 A 2

O peso tem que ser igual a essa força:

P m i n i m o = F s u s t e n t a ç ã o

∴

P m i n i m o = ρ v 2 A 2

A resposta é a letra b)

Resposta

b)

Exercício Resolvido #7

PUCRIO-P1-2011.2-Modificado

Um riacho de efluentes industriais líquidos ( ρ = 0,90 × 10 3   k g / m 3 ) de largura l = 0,80   m e profundidade H = 0,10   m corre a céu aberto.

O riacho passa a ser canalizado em uma tubulação com seção reta circular de diâmetro D = 8,0   c m , que corre ao longo da horizontal de modo que o seu eixo central está a H ' abaixo do nível médio do rio.

Finalmente, o líquido é lançado num jato horizontal para a atmosfera.

Observa-se que a velocidade do riacho, v = 0,50   m / s , é aproximadamente horizontal e uniforme ao longo de toda seção reta. Considere os fluxos sempre laminares e uniformes. Considere H ≪ H ' e D ≪ H ' .

Dado: P a t m = 1 . 10 5 P a

  1. Calcule a vazão do riacho.
  2. Calcule a velocidade v ' do líquido dentro da tubulação horizontal.
  3. Calcule a pressão num ponto qualquer dentro da tubulação.
  4. Calcule a profundidade H ' da tubulação.

Passo 1

a):

Pra descobrir a vazão podemos pensar na seção transversal do riacho e relacioná-la com a sua velocidade.

Sabendo que a área transversal será dada por:

A = l H

A vazão será o produto dessa área pela velocidade:

V ' = A v = l H v = 0,8 . 0,1 . 0,5 = 0,040 m 3 / s

Passo 2

b):

Vamos usar o princípio da continuidade aqui. Como a vazão é constante, a vazão na tubulação será a mesma que a do riacho. Bem, essa vazão, a da tubulação, será dada por:

V t u b ' = A v '

Sendo que a área da tubulação pode ser calculada usando-se o raio da tubulação (metade do diâmetro). Logo:

R = d 2 = 4 c m

Logo a área será:

A = 4 . 10 - 2 2 π = 16 . 10 - 4 π

Logo:

V t u b ' = V ' = 0,040   → 16 x 10 - 4 π v ' = 0,040   → v ' = 0,040 16 x 10 - 4 π ≅ 8 m / s

Passo 3

c):

Vamos usar Bernoulli pra comparar um ponto no jato com um ponto no interior do tubo. Os dois pontos terão a mesma altura e a mesma velocidade, então:

ρ g h 1 + ρ v 1 2 2 + P 1 = ρ g h 2 + ρ v 2 2 2 + P 2

Onde as variáveis com índice 2 indicam o ponto do jato e as de índice 1 o ponto no interior do tubo.

Bom, v 1 = v 2 e h 1 = h 2 , logo:

P 1 = P 2

No entanto, a pressão em 2 é a pressão atmosférica. Então:

P 1 = P t u b o = P a t m = 1 . 10 5 P a

Passo 4

d):

Vamos comparar aqui um ponto no meio do riacho com um ponto na tubulação. Vamos usar Bernoulli, e pra isso vamos considerar o nível de potencial gravitacional zero o nível da tubulação.

Além disso, lembrando que D ≪ H ' , consideremos que D ≅ 0 . Então a equação de Bernoulli fica:

P A + ρ g H A + ρ v A 2 2 = P B + ρ g H B + ρ v B 2 2

Como P A = P B = P a t m , H B = 0 , H A = H ' , v A = 0,50 m / s e v B = 8 m / s :

1,0 . 10 5 + 1 2 ρ v A 2 + ρ g H ' = 1,0 . 10 5 + 0 + ρ v B 2 2

∴

H ' = 1 2 g . v B 2 - v A 2 = 8 2 - 0,5 2 2 x 10 ≅ 3,2 m

Resposta

a):

V ' = 0,040 m 3 / s

b):

v ' ≅ 8 m / s

c):

P t u b o = P a t m = 1 . 10 5 P a

d):

H ' = 8 2 - 0,5 2 2 x 10 ≅ 3,2 m

Exercício Resolvido #8

PUCRIO-P1-2013.1

O abastecimento de água de um prédio é feito por uma tubulação, conforme o esquema a figura abaixo. Após passar por canos de seção reta A 1 e A 2 , a água segue por um cano de seção reta A 3 até sair( ponto 4) para a caixa d’água localizada no alto do edifício. Entre as posições 1 e 2 na tubulação é colocado um manômetro que mede a diferença de pressão ∆ p 12 = p 1 - p 2 . A altura do prédio é H e o volume da caixa d’água é V 0 .

  1. Encontre a velocidade v 1 , no ponto 1 do encanamento.
  2. Determine a vazão no tubo e o tempo necessário pra encher a caixa d’água.
  3. Determine a velocidade v 4 , com que a água sai pela extremidade do tubo no alto do edifício.
  4. Determine a pressão manométrica no ponto 1( p m 1 = p 1 - p a t m ) , que foi necessária para fornecer a vazão calculada.

Passo 1

a):

Pra resolver esse item a gente vai usar Bernoulli.

Bom, temos a diferença de pressão entre os dois pontos. Só que não sabemos a velocidade do fluido em nenhum ponto. A relação das pressões e velocidades nos pontos 1 e 2 por Bernoulli é dada por:

p 1 + ρ v 1 2 2 = p 2 + ρ v 2 2 2

Então:

p 1 - p 2 = ρ 2 . v 2 2 - v 1 2 = ∆ p 12

Mas ainda temos mais variáveis que equações. Mas olha só, a velocidade 1 se relaciona com a velocidade 2 a partir do princípio da continuidade, não é?

Isso é, como a vazão da bomba é a mesma nos dois pontos, a gente pode escrever essa parada assim:

V ' = A 1 v 1 = A 2 v 2   → v 2 = v 1 . A 1 A 2 = v 1 . A 1 A 1 4 = 4 v 1

Então:

∆ p 12 = ρ 2 16 v 1 2 - v 1 2

∴

∆ p 12 = ρ 2 . v 1 2 . 15

Nós sabemos o valor de ∆ p 12 . Então:

0,3 x 10 5 = 15.10 3 2 v 1 2   → 60 x 10 3 15 x 10 3 = v 1 2 = 4

∴

v 1 2 = 4   → v 1 = 2,0   m / s

Passo 2

b):

Pra determinar a vazão basta a gente usar aquela fórmula:

V ' = A v = A 1 v 1 = 5,0 x 10 - 3 . 2,0 = 10 - 2   m 3 / s = 0,010   m 3 / s

E o tempo que leva pra encher a caixa é calculado pela divisão e V 0 por esse valor:

∆ t = V 0 V ' = 10 10 - 2 = 1000 s

Passo 3

c):

Pra descobrir isso, basta a gente perceber que o cano que libera a água no ponto 4 é o mesmo que sai lá de baixo e tem seção transversal A 3 . Assim:

v 3 = v 4 = A 1 v 1 A 3 = A 1 v 1 A 1 8 = 8 v 1

∴

v 3 = v 4 = 8 v 1 = 8.2 = 16   m / s

v 4 = 16   m / s

Passo 4

d):

Vamos usar a equação de Bernouli entre os pontos 1 e 4 pra achar a pressão manométrica p m 1 .

Isso porque a pressão em 4 é a pressão atmosférica. Então:

p 1 + ρ v 1 2 2 = p a t m + ρ v 4 2 2 + ρ g H

Então:

p 1 - p a t m = ρ 2 v 4 2 - v 1 2 + ρ g H = 10 3 2 . 16 2 - 2 2 + 10 3 . 10 . 12

∴

p 1 - p a t m = p m 1 = 10 3 2 . 16 2 - 2 2 + 10 3 . 10 . 12 = 246000

∴

p m 1 = 2,46 x 10 5 P a

Resposta

a):

v 1 = 2,0   m / s

b):

V ' = 0,010   m 3 / s

∆ t = 1000 s

c):

v 4 = 16   m / s

d):

p m 1 = 2,46 x 10 5 P a

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