Densidade
Teoria
Fluidos
Primeiro: o que é um fluido?
Um fluido é uma substância que possui a capacidade de escoar, ou fluir, graças a sua facilidade de se deformar.
Basicamente, é tudo o que não é sólido. Ou seja: líquidos e gases!
Mas antes de entrarmos no estudo dos fluidos, vamos ver um conceito básico bem importante: o da densidade.
Densidade e Massa Específica
O que é a densidade de um corpo?
A densidade de um corpo é a relação entre a quantidade de massa que existe em determinado volume de um corpo. Ou seja:
Beleza? Então a densidade é algo ligado ao corpo.
E a massa específica?
A fórmula é parecida:
Mas qual a diferença então? Bom, a massa específica é uma propriedade tabelada e é ligada à substância (ou material) do qual o corpo é feito.
Confuso? Calma, vou explicar melhor.
Quando falamos de corpos ocos feitos de um dado material, no cálculo da densidade, nós consideramos o volume total do corpo (incluindo o da parte oca).
Já no cálculo da massa específica, o volume a ser considerado é só o ocupado pelo material (ou seja, a parte oca não entra). Nesses casos, a densidade do corpo e a massa específica do material do qual o corpo é feito apresentam valores distintos!
No entanto, quando tratamos de fluidos, consideramos que não há diferença entre a densidade e a massa específica.
Ufa, pode ficar tranquilo. =)
Densidade Relativa
Dependendo do problema ou do seu professor, outra grandeza pode ser pedida: a densidade relativa!
Isso significa o seguinte: você deve dividir a densidade da sua substância pela densidade da água.
Vamos ver um exemplo, mas antes disso, vale a pena dizer que, no geral, consideramos:
Beleza? Esse é o valor geralmente adotado pra densidade da água.
Pois bem, seguindo pro exemplo. A densidade do mercúrio vale:
Qual a densidade relativa dele então?
A densidade relativa dele vai valer:
Ou seja, quando tivermos essa interpretação da densidade, ela será uma grandeza adimensional.
Unidades
Vamos ver quais são as unidades de massa específica/densidade:
Vamos supor e .
Calculando a massa específica:
Pronto! Não tem nome especial essa unidade. Geralmente, usamos mesmo ou outra unidade com múltiplos dessas.
Por exemplo: , , ...
Observação:
Legal! Partiu fazer uns exercícios?
Densidade Relativa
Unidades
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Elaboração Própria
Calcule a massa e o peso do ar dentro de uma sala com altura de e chão com dimensões .
Dados:
Passo 1
Primeiro, vamos calcular a massa de ar dentro dessa sala. E, pra isso, podemos usar a fórmula da densidade!! Pois nós temos as dimensões da sala (podemos calcular o volume dela) e a densidade do ar (). A fórmula é:
Passo 2
Como representa o volume ocupado pelo ar, que seria igual ao próprio volume da sala:
Passo 3
Como :
Passo 4
Para calcular o peso, fazemos:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física II – Termodinâmica e Ondas, 12a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008, pp 94 – Modificado
Fazendo um extra, você foi solicitado a transportar uma barra de ferro de de comprimento e de diâmetro de um depósito até um mecânico. Você precisará usar um carrinho de mão? (Pra responder, calcule a massa do Ferro).
Dado:
Passo 1
Bom, nessa questão você só vai precisar aplicar a fórmula:
Nós queremos descobrir , já sabemos e o volume dá pra gente calcular.
Passo 2
Assim:
E quem é
é o volume da barra de ferro, que na verdade é um cilindro de diâmetro igual a .
A área da base desse cilindro é dada por:
E o volume será essa área vezes o comprimento
Passo 3
O raio será dado por:
Então:
Assim:
Passo 4
Agora fica fácil achar a massa:
Show!! E você precisa de um carrinho pra carregar essa massa?
Não! (:
Resposta
Não, pois a massa é pequena, cerca de .
Exercício Resolvido #3
Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física II – Termodinâmica e Ondas, 12a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2008, pp 94 – Modificado
Duas esferas uniformes, uma de chumbo e outra de alumínio, possuem a mesma massa. Qual a razão entre o raio da esfera de alumínio e o raio da esfera de chumbo?
Dado:
Volume de uma esfera de raio
Passo 1
A ideia aqui é achar uma relação entre os raios usando uma relação entre as densidades.
Da fórmula que a gente viu:
Temos que:
Assim:
Passo 2
Bom, mas a gente quer uma relação entre os raios, não entre os volumes, certo? Então, já que são esferas, vamos usar:
Passo 3
Agora é só aplicar os valores das massas específicas.
Como:
Teremos:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Elaboração própria
Uma esfera oca de 100 cm de diâmetro externo e 40 cm de diâmetro interno possui massa igual a 200 g.
Calcule:
- Sua densidade, em ;
- Sua massa específica, também em .
Passo 1
Aqui você precisa lembrar que para a densidade () nós usamos o volume total, já para a massa específica (), nós excluímos o volume oco!
Passo 2
- Densidade
- Massa específica
O volume de uma esfera é
Como o diâmetro externo é 100 cm, então
Jogando na densidade
Passo 3
Agora temos que lembrar de excluir o volume oco, que também é uma esfera, só que de diâmetro 40 cm (raio 20 cm).
Resposta
Exercício Resolvido #5
Elaboração própria
O ouro 18 quilates é uma liga em que a massa de ouro equivale a 18/24 da massa total.
Imagine que você comprou um anel de 100 g de ouro 18 quilates, onde o outro metal é prata, por um preço bem abaixo do mercado.
Para ter certeza que você não comprou um produto falsificado, você mediu o volume do seu anel e encontrou . Seu produto é falsificado?
Dados:
Passo 1
O anel tem uma densidade
Pra saber se o produto é falsificado, temos que comparar esse valor com a densidade de um ouro 18-quilates.
Passo 2
Imagine um ouro 18 quilates padrão de 100 g. Temos
Logo, como
Para calcular a densidade, precisamos dos volumes, vamos usar a relação
Temos a densidade do ouro 18-quilates:
A densidade do anel é menor do que a de um ouro 18-quilates!!
O anel deve ter menos ouro do que deveria. Isso que dá ficar comprando coisa barata por aí.
Resposta
É falsificado!
Exercício Resolvido #6
Halliday, Vol 2, Capítulo 14, 9ª edição, exercício 1, página 80
Um peixe se mantém na mesma profundidade na água doce ajustando a quantidade de ar em ossos porosos ou em bolsas de ar para tornar sua massa específica média igual à da água. Suponha que, com as bolsas de ar vazias, um peixe tem uma massa específica de . Para que fração de seu volume expandido o peixe deve inflar as bolsas de ar para tornar sua massa específica igual à da água?
Passo 1
Para resolver esse problema a gente tem que entender que ao inflar as bolsas de ar a massa específica do peixe diminui. O problema quer saber quanto de ar o peixe precisa para diminuir sua densidade de até (que é a densidade da água doce, esse valor a gente tem que saber de cabeça beleza?).
Perceba que ter a mesma densidade da água significa que o peixe não flutua nem afunda, exatamente o que queremos!
Passo 2
O peixe tem uma densidade quando suas bolsas de ar estão vazias e seu volume é , nessa situação. Ou seja:
Quando ele enche suas bolsas de ar, temos que sua densidade agora é igual a da água () para não boiar nem afundar.
Além disso, seu novo volume passa a ser o volume antigo, , somado ao volume adicionado às suas bolsas de ar, :
Com isso, podemos escrever a densidade do peixe já inflado:
Passo 3
O problema quer saber a relação entre o volume que o peixe se inflou e o volume total quando está inflado, ou seja:
Para começar, podemos igualar as massas do peixe encontradas no passo anterior e encontrar quanto vale , ficando com:
A massa do peixe não muda né, então temos:
Passo 4
Show!! Agora conseguimos substituir o valor do volume que foi inflado e achar o quanto ele vale em relação ao volume total do peixe depois de inflar:
O que nos dá:
Resposta
O peixe deve inflar as bolsas de ar em de seu volume expandido.
Exercício Resolvido #7
Halliday, Vol 2, Capítulo 14, 9ª edição, exercício 4, página 80
Três líquidos imiscíveis são despejados em um recipiente cilíndrico. Os volumes e massas específicas dos líquidos são: , ; , ; , . Qual é a força total exercida pelos líquidos sobre o fundo do recipiente? • (Ignore a contribuição da atmosfera.)
Obs.: Use
Passo 1
Nossa situação é a seguinte:
Como cada líquido tem sua massa, cada um também tem seu peso! Então, nós temos os três líquidos exercendo uma força, , no fundo do recipiente, que será dada pela somas dos pesos (, e ) de cada líquido!! Assim:
Sabemos que a fórmula do peso é , logo:
Passo 2
Lembrando a fórmula da densidade sendo:
Podemos substituir as massas de cada líquido por . Dessa forma:
Passo 3
Temos que tomar cuidado com a unidades de medida agora!!
Calculando um peso de cada vez e passando tudo pra quilograma e metro (a fim de obter a força em Newtons):
Para passarmos de grama para quilograma, dividimos por , e para passar de centímetro para metro, dividimos tudo por . Dessa forma:
Se a gente repetir esse processo para os outros dois pesos, vamos ter:
Passo 4
Agora sim! Voltando para a primeira equação da força resultante:
Substituindo os valores encontrados para cada peso:
Resposta
A força exercida vale .
Exercício Resolvido #8
Elaboração própria
Devido à ação da gravidade, a densidade do ar não é constante, e quanto mais alto você vai, em relação ao nível do mar, menos denso vai ficando a atmosfera.
Suponha que a massa de ar, em relação ao nível do mar, vai decaindo exponencialmente com a altura da forma , onde e são constantes.
- Como que a densidade varia com a altura?
- Em qual altura a densidade cai para metade do valor ao nível do mar, em função das constantes e ?
Passo 1
Temos agora um caso em que a massa não é constante! Para isso temos que usar a forma diferencial da densidade:
Mas como , ea é constante, podemos dizer que
Reescrevendo a densidade
Só que, repara uma coisa: a derivada é negativa por que conforme vamos subindo na atmosfera a quantidade de massa diminui. Segundo a equação que escrevemos acima, isso significaria que a densidade seria negativa! Como isso não faz sentido a gente pode meter um módulo aqui!
Escrito dessa forma, o que estamos dizendo é que a densidade é a razão de quanto de massa tem em um volumezinho , e não a taxa de variação da massa em relação a altura (que é a derivada).
Passo 2
- Vamos jogar a função dentro da densidade
Derivando,
E esse é a função! =)
Passo 3
b)
Queremos o ponto em que a densidade cai pela metade do valor ao nível do mar.
No nível do mar, temos ,
Então, queremos a altura em que a densidade é
Jogando na equação:
Cortando
Aplicando log dos dois lados
Usando que , e isolando o h, temos:
Nessa altura a densidade cai pela metade! =)