Análise Dimensional e de Unidades

Para descobrir as unidades de volume podemos pegar um volume simples de calcular para analisar, como o volume de um cubo por exemplo.

O cubo possui 3 lados iguais e nesse caso como a gente faz pra calcular o volume?

Para calcular o volume de um cubo temos:

Como a dimensão de cada lado é um comprimento linear a gente pode dizer que um lado tem a dimensão de um comprimento , ou seja, sempre será uma medida de comprimento como por exemplo: milímetros, centímetros ou metros.

Logo se calculamos o volume do cubo que é lado ao cubo, temos também a sua dimensão que é:

Sendo assim a unidade do volume do cubo é comprimento ao cubo:

Como o volume de um cubo tem a mesma dimensão que qualquer outro volume temos que:

Considerando um volume de um cilindro como , vamos analisar dimensionalmente essa fórmula:

Assim o volume do cilindro seria:

Cara mas e aí, é possível que o volume tenha uma dimensão de Como vimos o volume tem dimensões cúbicas do tipo , então não seria possível esse volume pro cilindro então a afirmativa é falsa.

A pergunta é sobre as dimensões da pressão, porém antes precisamos saber as dimensões da força e área

Segundo o enunciado, temos os seguintes dados

Analisando a dimensão da massa temos:

Analisando as dimensões da aceleração temos:

Juntando as dimensões de aceleração e massa, conseguimos encontrar a dimensão da Força

Para calcular as dimensões de área, podemos pensar na área de um campo de futebol:

Analisando as dimensões de um lado temos:

Juntando as dimensões de um lado, conseguimos encontrar as dimensões da área:

Agora que já sabemos as dimensões de força e área, podemos descobrir as dimensões de pressão

Para começar a questão temos que analisar a dimensão do lado esquerdo e do lado direito da equação dada, pois como se trata de uma igualdade, a dimensão também é igual.

Então:

Como é o número de núcleos radiotivos no tempo e é o mesmo número quando , e já que ambos são números a dimensão deles é:

Como sabemos que o lado esquerdo não possui dimensão, concluímos que o lado direito também não possui.

Como é adimensional, também é.

Se , a galera que acompanha precisa formar dimensão 1 também e portanto não deve possuir dimensão. Bom a gente sabe que é uma constante então só resta

Que precisa ter dimensão 1, então faremos:

E é o tempo que tem dimensão de tempo :

Sendo assim pra satisfazer a igualdade a constante deve ter a dimensão:

Nessa questão é importante lembrar as propriedades quando relacionamos duas grandezas: quando somadas as dimensões são iguais, quando multiplicadas as dimensões se somam.

Como a distância , o tempo e a velocidade são usadas em várias alternativas, vamos identificar suas dimensões, o tempo independente de ser segundo ou hora é uma unidade de tempo e a distância seja em metros ou quilômetros ou qualquer outra unidade, tem dimensão de unidade linear de comprimento .

lembra que a velocidade é dada no S.I pelas unidades ? Bom metro é uma unidade de comprimento linear , e segundo é uma unidade de tempo

Alternativa a)

e precisam ter a unidade de , pois os 2 termos somados precisam ter mesma unidade e os termos da igualdade precisam ser iguais, logo todo mundo é igual

Como se trata de soma de termos, temos as três dimensões iguais e aqui conhecemos a unidade do tempo que é e também de que é comprimento linear .

Igualando cada constante temos:

Convertendo as unidades para o (Sistema Internacional)

Alternativa b)

Como sabemos a dimensão do lado esquerdo, basta igualar com o lado direito e aqui vamos substituir a dimensão de como e do tempo, mas como está ao quadrado o que aparecerá será algo do tipo .

Ué ? Mas é o ?

Números são adimensionais!!! Não são importantes para essa questão!

No S.I.

Alternativa c)

Substituindo as dimensões que já conhecemos que são as dimensões da velocidade e da distância temos:

Isolando a constante:

No S.I.

Alternativa d)

Substituindo as dimensões que já conhecemos temos:

Essa é um pouquinho diferente das outras, mas nada que você não seja capaz de resolver . O que está dentro do cosseno é um ângulo e os ângulos são adimensionais e portanto o produto das unidades devem ser adimensionais também:

Logo:

Após descobrir o lado esquerdo precisa ser igual ao direito. Como a parte do é adimensional, temos:

No S.I.

Alternativa e)

Se lembra da propriedade da soma? Viu como ela é importante? Esquece dela não! Vamos usa-la novamente aqui, a galera que se soma deve ter as mesmas unidades.

Substituindo as dimensões que já conhecemos:

Lembrando que os números não são importantes quando queremos saber as dimensões, assim como os sinais !!

Descobrindo a primeira constante:

Descobrindo a segunda constante:

No S.I.

Alternativa a)

Como ele está interessado na dimensão de , precisamos saber todas as outras dimensões. Para começar, vamos transformar todas as grandezas para o sistema SI.

Achando as dimensões da força:

Achando as dimensões de :

Achando as dimensões de :

Depois de descobrir cada dimensão, podemos colocar todas na equação:

Substituindo o que encontramos temos:

Isolando

Alternativa b)

O que precisamos encontrar são as dimensões de massa junto com velocidade e de força junto com tempo. Se encontrarmos a mesma resposta nas duas buscas ... Pimba! Terminamos a questão

Encontrando as dimensões de quantidade de movimento.

Sabemos que:

Logo:

Como são grandezas conhecidas temos

Encontrando as dimensões de força multiplica por tempo

Sabendo as dimensões de força temos:

Sabendo as dimensões de tempo temos:

Logo:

Viu só? Achamos o mesmo resultado!

Precisamos chegar na combinação correta dos fatores pra gente encontrar a dimensão do período, e a unidade desse período é o tempo. Usaremos aqui na análise a massa dos corpos com dimensão massa e a distância que tem dimensão de comprimento.

Vamos dar uma boa olhada na equação da força gravitacional.

Daí dessa equação são conhecidas duas dimensões, ambas as massas tem a unidade de massa e a distância tem unidade de comprimento.

Opa mas e o ? Como a gente descobre sua dimensão? Vamos pegar a equação e mexer nela um pouquinho, ela vai ficar com essa carinha aqui.

Conhecemos algumas unidades mas a dimensão da força pode não ser tão simples de visualizar, vamos usar a lei de newton pra entender melhor essa dimensão.

A massa tem unidade de massa e a aceleração tem unidade de comprimento por tempo ao quadrado , logo a unidade da força é.

Por fim encontramos a dimensão de .

Agrupando as unidades e eliminando alguns termos semelhantes temos:

O enunciado nos diz que o período do planeta é relacionado com a distânicia com a constante gravitacional e com a massa do sol, mas não como é essa relação. Vamos escrever então essa relação de uma forma genérica elevando cada uma das grandezas á um expoente que precisaremos calcular pra chegar na dimensão tempo.

Onde é uma constante adimensional qualquer.

Substituindo as dimensões encontradas temos:

Se liga que agora é o pulo do gato da questão.

As unidades do lado esquerdo da equação precisam ser as mesmas que as do lado direito. Ué, mas como se não temos nem e muito menos do lado esquerda? Se liga, temos sim. Lembra que qualquer número elevado á é 1? Isso vale pras nossas unidades também:

Então olha essa galera aí multiplicando o

Agora é trabalhar os expoentes do outro lado e deixar as unidades separadas, primeiro vamos abrir a galera que tá sob o expoente

Agora deixaremos as unidades juntas, comprimento com comprimento, massa com massa e tempo com tempo.

A partir desses expoentes vamos montar um sisteminha, o expoente que aparece em uma unidade de um lado deve ser igual ao que aparece do outro lado.

Igualando os expoentes temos esse sisteminha aquiP

Resolvendo o sistema encontramos os seguintes valores:

Ufa, finalmente chegamos ao final! Agora é só substituir os valores encontados na equação original: