Força Gravitacional

Aprendemos a concentrar toda a massa de esferas em seus centros, portanto, o problema se transformaria em duas cargas pontuais de massa , e com uma distância uma da outra.

Aplicando a fórmula da força gravitacional, temos:

A fórmula geral da força gravitacional entre 2 partículas de massa M e que são separadas por uma distância é:

onde é a constante gravitacional.

Então, já que as duas primeiras partículas têm massa e são separadas por uma distância , o módulo da força gravitacional entre elas é:

Sendo o módulo da força gravitacional entre as partículas de massa separadas por uma distância , temos:

É o mesmo que pras outras partículas!

Podemos assumir direto a fórmula da gravidade na superfície de um planeta, mas se ainda não está decorado, vamos deduzi-la de acordo com a fórmula da gravidade (esta é a mais importante!).

Tendo, agora, a fórmula da gravidade na superfície de um planeta, basta aplicarmos os valores dados no enunciado.

Para a Terra:

Para o planeta:

Igualando as fórmulas, visto que a gravidade é a mesma, temos:

Normalmente o enunciado diz o valor da massa e do raio da Terra, e o valor da constante gravitacional. Pois bem, assumiremos os valores:

Quando estamos a uma distância da superfície da terra a aceleração da gravidade será .

Com isto, para achar a distância acima da superfície da Terra basta assumirmos um crescimento do raio:

Agora, vamos fazer as contas!

Botando o em evidencia no denominador, temos:

Mas sabemos que , é a gravidade no superfície da Terra, então

Agora temos que isolar . Pra isso vamos primeiro multiplicar cruzado

Aí vamos tirar a raiz quadrada dos dois lados

Substituindo os valores, vamos ter o seguinte

Show de bolinhas! :D

Sabemos que a fórmula que temos que usar para encontrar a aceleração da gravidade é:

Portanto, pelo enunciado, temos:

E para encontrar o que queremos, temos que usar que:

E então:

Simplificando:

O primeiro passo é ficar muito feliz! Ser contratado para trabalhar numa agência espacial é de um reconhecimento ímpar! E uma conta bancária par, né rs.

Vamos lá, já nos foi dado a massa, o raio e a constante gravitacional. Podemos aplicar diretamente na fórmula da gravidade na superfície de um planeta qualquer, mas vamos deduzí-la mais uma vez para você nunca mais esquecer.

Para dar uma lembrada, primeiro usamos a força convencional de atração de um corpo, a força peso.

Em seguida, usamos a força gravitacional de atração de um corpo.

E como elas são a mesma força calculada de forma diferente, basta igualá-las.

Pronto, agora podemos substituir os valores dados na questão:

A gente precisa calcular o campo gravitacional aqui, já que o problema nos pede a orientação e a magnitude dele em relação a origem O, na nossa língua quer dizer que ele quer o valor do campo e pra onde ele aponta. Temos duas partículas idênticas que tem a mesma distância da origem.

Vamos desenhar o problema:

Repara que a gravidade pra cada uma das partículas aponta pra um sentido diferente. O campo gravitacional depende da massa e também da distância quanto mais distante menor é a influencia do campo e nesse caso todas as componentes são iguais pra cada partícula. Vetorialmente falando a fórmula que descreve o campo gravitacional é essa aqui:

Quando ele fala em orientação a gente pode pensar em duas coisas, na orientação vetorial ou no ângulo da resultante desse campo. A gente viu como funciona na fórmula e só vamos precisar ali mudar o sentido, que é negativo.

E pra encontrar o ângulo dessa resultante a gente pode desenhar a resultante dos vetores e calcular a tangente do triângulo.

Que vai ser dada por cada módulo aqui, já que os vetores ortogonais possuem só uma direção:

E aí a gente faz a inversa:

E o módulo do vetor é só fazer o Pitágoras daquele mesmo triângulo com as compontenes em módulo, se liga:

Substituindo geral a gente tem:

A massa da esfera que está no ponto não vai interferir, porque? Lembra que a aceleração da gravidade é

Basta assumirmos sendo a distância entre as esferas, e sendo a massa da esfera verde e pronto temos as acelerações do ponto . Pois bem, assumiremos os valores:

Como os corpos tem a mesma massa a intensidade da gravidade é igual, vamos calcular?

As acelerações vão ser assim

Repara que os ângulos são iguais porque os triângulos são iguais. Como as acelerações são iguais vamos ter apenas componente vertical, ambas apontando para baixo. Usando a “regra do COlado/SEparado” vamos ter

Mas quem é cosseno de ? Olha no triângulo da figura inicial, o cosseno não é cateto adjacente sobre hipotenusa? Então

Vamos ter

Essa é a COMPONENTE de cada gravidade a aceleração total vai ser

a) Sabemos que para encontrarmos o a força gravitacional resultante, basta somarmos vetorialmente todas as forças exercidas na massa . Se liga na figura:

Percebe-se que todas as componentes horizontais se anulam, portanto:

Onde é a força gravitacional entre uma massa e a massa , logo:

Substituindo os valores:

b) Para achar o campo gravitacional, nós aprendemos a fazer o seguinte:

Portanto, o campo gravitacional NÃO DEPENDE da massa .

Então, concluímos que, podemos manter o mesmo vetor encontrado para a força, divindo-o somente pelo valor da massa :

Vamos primeiramente calcular a força que a esfera de chumbo faz na esfera menor, sem ter a cavidade.

Agora vamos imaginar a cavidade como sendo uma esfera de raio , cujo o centro de massa está a uma distância de da esfera pequena. Agora vamos calcular a força gravitacional que essa cavidade esférica exerceria na esfera pequena.

Entretanto, não temos a massa dessa cavidade esférica. Mas podemos descobrir utilizando a fórmula da densidade:

Para a esfera sem a cavidade, temos que e o volume será:

Logo, substituindo:

Agora é só utilizar a densidade para a cavidade:

Entretanto, ainda temos que calcular o volume da cavidade. Mas sabemos que o raio da cavidade é a metade do raio da esfera, ou seja, é .

Substituindo na fórmula:

Agora é só substituir na fórmula

Agora para calcular a força que a esfera com a cavidade faz, é só diminuir as duas forças: