Força e Campo Gravitacional Envolvendo Integrais
Produzido por Ludovic BeghinTeoria
Show de bolinhas galerinha, até agora vimos exemplos e exercícios de corpos com simetria esférica sobre efeito da força gravitacional.
No entanto, diversas distribuições contínuas de massa são capazes de também criar um campo gravitacional e é exatamente essas expressões que regem as forças geradas por este campo que iremos estudar.
Para entender melhor o jeito da coisa, nada melhor do que um exemplozinho.
Exemplo
Vamos imaginar uma linha de massas de massa total e tamanho , disposta sobre um eixo como na figura abaixo:
Vamos encontrar o campo gravitacional resultante, sobre um ponto que está uma distância sobre o eixo :
Nesse caso, teremos que cada pedacinho bem pequenininho de massa da nossa linha, vai exercer uma atração gravitacional igualmente pequena sobre o ponto:
Onde representa a versor unitário da direção da atração gravitacional que a massa exerce sobre o ponto.
Dessa maneira, o campo gravitacional gerado pela linha, sobre o ponto, será resultado da soma de todas as atrações gravitacionais que todas as massas exercem sobre esse ponto. Ou seja, como temos uma soma de infinitas atrações , podemos aplicar os conceitos de integral para calcular o campo gravitacional resultante , tal que:
Como a aceleração gravitacional é medida através da equação:
A atração de uma massa , será:
Lembrando que esse representa somente a direção que aponta o campo. Mas beleza, essa nossa direção possui componentes em dois eixos, então isso quer dizer que podemos decompor ela em suas coordenadas, saca só, vamos ter que:
Sendo assim, podemos expressar a direção como:
Como é o vetor unitário , então , de forma que:
Assim a nossa integral se divide em duas:
Tal que:
Mas calma ai chefia, porque nem tudo está perdido. Pra facilitar nossas contas, podemos usar a simetria do problema a nosso favor, se liga só, a mesma massa que existe de um lado do eixo, existe simetricamente do outro, isso quer dizer que a atração gravitacional que elas exercem nesse eixo, se encontram de uma maneira que:
A malandragem disso tudo, é que as forças horizontais que as massas exercem sobre o ponto, se anulam com as forças que as outras massas exercem em posições simétricas:
Isso quer dizer que componente horizontal do compo gravitacional será nula, e a resultante do campo gravitacional vai possuir resultante somente no eixo . Logo:
Agora o nosso problema é que não conhecemos aquele pedacinho de massa . Mas pra isso podemos usar o fato da massa ser distribuída continuamente, isso quer dizer que a densidade linear vai ser igual em qualquer ponto do corpo. Então pra uma massa que tem um comprimento :
Teremos uma densidade linear dada como:
Como a barra é homogênea, podemos encontrar essa tal de densidade linear usando a massa total e o comprimento total , tal que::
E então, encontrar a relação de com :
Logo:
Belezoca, e susbituindo isso na nossa integral, obtemos que:
Outra coisa que podemos reparar, é que a nossa variável agora passou a ser o , e nesse caso temos que a barra varia no eixo de até , afinal colocamos seu centro bem no meio do eixo. Logo os limites de integração serão e :
Agora temos que deixar tudo em função de ! Olhando de novo pra nossa figura, temos um triângulo retângulo dando sopa aqui
Desse triângulo a gente tira que:
Além disso, também conseguimos tirars as relações trigonométricas:
Substituindo no nosso campo, obtemos que:
Agora.... agora não tem muito pra onde a gente fugir! Temos que lidar com essa belezinha aí! Mas não grila muito não, porque essas integrais de raízes sempre são tabeladas e já vêem prontinhas pra gente. É exatamente dessa água que a gente bebereis, se liga só nessa integralzinha tabelada aqui:
Igualzinha a nossa né não!? Só gente trocar o pelo e o pelo . Isso quer dizer que nossa integral será:
Então se a gente substituir os limites de integração, vamos obter que:
E o nosso campo vai ser dado por:
Dessa maneira, o módulo do campo gravitacional , será:
E pra finalizar, o sinal negativo em , indica que o sentido da atração é para baixo no eixo .
Um resumo pra isso tudo:
Passo 1: Escrever como uma integral de e separar nas suas componentes
Passo 2: Analisar a simetria do problema e ver ser alguma componente é nula
Passo 3: Escrever o em função de alguma coisa que dê pra integrar. No nosso exemplo
Passo 4: Ajeitar os limites de integração, achar relações pra escrever tudo em função dos dados do problema e da variável de integração.
Passo 5: Meter a cara na integral (dê uma olhada no formulário antes!).
Um pouco trabalhoso, né? Mas com a prática você vai dominar isso aí. Bora praticar pra você ficar craque nisso!