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Velocidade e Período Orbital

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Teoria

Opa! Seja bem vindo ao Responde Aí! Bora conversar sobre Velocidade Orbital, Período Orbital e também descobrir o que é orbitar?! 🤣

Lá na escolinha, aprendemos que no Sistema Solar, os planetas orbitam em torno do Sol e a lua orbita em torno da terra! Mas o que isso significa?

Sistema solar: Planetas orbitando em torno do sol
Sistema solar: Planetas orbitando em torno do sol

Orbitar significa: “Andar à volta de algo, estar na esfera de ação ou de influência de alguém ou algo.” Isso quer dizer que quando um objeto está orbitando em torno de outro, ele está seguindo uma trajetória, chamada órbita, em volta desse objeto, sendo “puxado” por alguma força.

A terra, por exemplo, exerce força gravitacional sobre a lua, por isso que ela fica orbitando a terra ao invés de “fugir pro espaço”, ou então “cair”! 🤣🤣🤣

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Fórmula do Período Orbital

O período orbital é o tempo necessário para um objeto que orbita outro completar uma volta completa! Mas vamos ao que interessa, bora pra fórmula:

-Mas o que essa fórmula significa e da onde ela vem? 😖

Para responder essa pergunta temos que falar de velocidade orbital! Você pode conferir isso e muito mais nesse vídeo super completo que o Responde Aí preparou pra você!

Exercícios Resolvidos

Exercício Resolvido #1

Lista 11, questão 3 – Gravitação, Universidade Federal Fluminense, 2014

Qual deve ser a velocidade orbital de um satélite que descreve uma órbita circular a 780 k m acima da superfície terrestre?

Dados:

Constante gravitação: 6,67 . 10 - 11 N m 2 k g 2

Massa da Terra:   5,98 . 10 24   k g  

Raio da Terra: 6,37 . 10 6   m

Passo 1

Faaala, galerinha!!!! O problema pede a velocidade orbital do satélite, a gente tem que lembrar que velocidade orbital nada mais é do que a velocidade de um satélite que está em órbita =D

Talvez você até já tenho decorado essa velocidade mas vamos deduzi-lá aqui rapidão. Vamos igualar a força gravitacional à força resultante (que é uma força centrípeta)

F g r a v = G M m R 2

F c e n t = m V 2 R

Igualando os dois termos vamos ter:

V 2 = G M R

V = G M R

Perceba que essa velocidade orbital vai depender do raio da órbita R , da massa da Terra M (ou outro astro a qual o satélite esteja orbitando) e da constante de gravitação G .

Passo 2

Pessoal, o problema deu basicamente todas as informações. Agora é só substituir =D

Então basta substituirmos os valores e achar a velocidade.

Lembrando os dados do problema:

G = 6,67 . 10 - 11 N m 2 k g 2

M =   5,98 . 10 24   k g  

R = 6,37 . 10 6   m

Pronto, basta substituir os valores na fórmula.

V = G M R

Mas a gente tem que lembrar que o raio da órbita R é a distância do satélite ao centro da Terra, que é igual ao raio da terra R T mais o raio da órbita R O :

R = R T + R O

R = 6,37 . 10 6 + 780 . 10 3

Agora podemos substituir:

V = 6,67 . 10 - 11 × 5,98 . 10 24 6,37 . 10 6 + 780 . 10 3

V = 7,47 × 10 3   m / s

ou

  V = 7,47   k m / s

Note que na segunda linha substituímos o R pelo raio da terra mais a distância do satélite à superfície da terra.

Resposta

V = 7,47   k m / s

Exercício Resolvido #2

Randall D. Knight, Física Uma Abordagem Estratégica – Volume 1, 2a ed. Porto Alegre: Bookman, 2009, pp 398 – Exemplo 13.4

Um ônibus espacial numa órbita de 300km de altura ( ≈ 180   m i ) quer capturar um satélite menor para efetuar reparos. Quais são os valores de velocidade do ônibus e do satélite nesta órbita?

Dados:

- Massa da Terra: 5,972 × 10 24 k g

- Raio da Terra: 6,37 × 10 3   k m

- Constante Gravitação: 6,67 × 10 - 11 m 3 k g - 1 s - 2

Passo 1

A primeira coisa a se pensar é: será que são duas velocidades ou uma só? O ônibus deseja chegar junto ao satélite, para isso eles tem que estar lado a lado na trajetória. Se a velocidade não depende da massa do corpo, somente da massa que os atrai (a Terra), da distância em que se encontra o corpo (mesma distância para o ônibus e para o satélite) e da constante gravitacional, então ambas as velocidades são as mesmas.

Passo 2

Sabendo disto, basta aplicar a fórmula.

v = G M R

Só que o raio da órbita circular não é o raio da Terra, já que o ônibus e o satélite estão a uma altura de 300 k m , assim

R = R T + h

E teremos

v = G M R T + h

No SI esses valores são

R T = 6,37 × 10 3 k m = 6,37 × 10 6 m

h = 300 k m = 3 × 10 5 m = 0,3 × 10 6   m

Substituindos os dados

v = 6,67 ∙ 10 - 11 ∙ 5,972 ∙ 10 24 6,37 ∙ 10 6 + 0,30 ∙ 10 6

v = 7 727,9   m / s

Resposta

v = 7727,9   m / s

Exercício Resolvido #3

UFRJ-P2-2015.1- ME7

Dois satélites orbitam em torno de um planeta que tem distribuição esfericamente simétrica de massa. Cada um está sujeito apenas à força gravitacional do planeta, descrevendo movimentos circulares uniformes. Se o primeiro satélite tem velocidade v em uma órbita de raio R e o segundo velocidade v / 2 , então o raio da órbita do segundo satélite é

(a) R

(b) 2 R

(c) 4 R

(d) R / 2

(e) R / 4

Passo 1

Que nem vimos na teoria, pela 2ª lei de Newton, a velocidade do primeiro satélite vai ser dada por:

v = G M R ,

onde G é a constante gravitacional e M seria a massa do planeta.

Passo 2

Seja R ' o raio do segundo satélite. Sua velocidade é v / 2 . Então, pela mesma regra:

v 2 = G M R '

⇒ v = 2 G M R '

Passo 3

Juntando as 2 equações:

G M R = 2 G M R '

Dividindo por G M dos 2 lados:

1 R = 2 R '

⇒ R ' = 2 R

⇒ R ' = 4 R

Resposta

Alternativa (c)

Exercício Resolvido #4

TIPLER, P., MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros, Vol. 1, 6ª Ed, LTC, 2009, p. 400 ex. 40 – Modificado.

Um satélite, com uma massa de 300   k g , se move em uma órbita circular 5,00   .   10 7   m acima da superfície da Terra. (a) Qual é a força gravitacional sobre o satélite? (b) Qual é a rapidez do satélite? (c) Qual é o período do satélite?

Dados:

G = 6,673.10 - 11 N . m 2 / k g 2    

M T = 5,97.10 24 k g

R T = 6371   k m

Passo 1

(a) Vamos calcular aqui a força gravitacional sobre o satélite. Sabemos que a fórmula da força gravitacional é:

F g = G M m r 2

Temos que:

F g = 6,673.10 - 11 . 5,97.10 24 . 300 6371.10 3 + 5,00.10 7 2 = 37,6   N

Passo 2

(b) Para calcular a rapidez do satélite, basta nos lembrarmos da fórmula da força centrípeta:

F g = m v 2 r

Logo:

v = F g r m

v = 37,6 . 6371.10 3 + 5.10 7 300 = 2658,04   m / s

Podemos escrever, então:

v = 2,66   k m / s

Passo 3

(c) O período do satélite é dado por:

T = 2 π r v

T = 2 π . 6371.10 3 + 5,00.10 7 2,66.10 3 = 1,333.10 5 s

Resposta

(a) 37,6   N

(b) 2,66   k m / s

(c) 1,333.10 5 s

Exercício Resolvido #5

Hugh D. Young e Roger A. Freedman, Física II – Mecânica, 10a ed. São Paulo: Addison Wesley, 2003, pp 31 - Modificado

Centenas de milhares de asteroides giram em torno do Sol no interior do cinturão de asteroides, que se estende desde uma distância do Sol de 3.10 8   k m até cerca de 5.10 8   k m . a) Ache o período orbital (em anos) para i) um asteroide na parte interna do cinturão e ii) um asteroide na parte externa do cinturão. Considere órbitas circulares.

Dados:

M S o l = 2 ∙ 10 30   k g

Passo 1

a)

Ele quer o período dos asteroides, mas como vamos fazer isso?

Vimos na teoria que sabemos calcular a velocidade do asteroide, vamos começar pelo asteroide na parte interna do cinturão.

V i n t = G M S o l R i n t

Sabendo a velocidade e considerando ela contante temos

V i n t = Δ S Δ t = 2 π R i n t T

Dessa forma

G M S o l R = 2 π R i n t T

T = 2 π R i n t 3 / 2 G M S o l

T = 2 π ∙ 3 ∙ 10 8 ∙ 10 3 3 / 2 6,67 ∙ 10 - 11 ∙ 2 ∙ 10 30 = 8,9 ∙ 10 7 s = 2,83   a n o s

Passo 2

Vamos agora para o asteroide na parte externa do cinturão. A conta não muda, o que muda vai ser o raio, que dessa vez será 5 ∙ 10 8   k m .

T = 2 π R e x t 3 / 2 G M S o l

T = 2 π ∙ 5 ∙ 10 8 ∙ 10 3 3 / 2 6,67 ∙ 10 - 11 ∙ 2 ∙ 10 30 = 1,9 ∙ 10 8   s = 6,1   a n o s

Resposta

  1. T = 6,1   a n o s

Exercício Resolvido #6

TIPLER, P., MOSCA, G. Física para Cientistas e Engenheiros, Vol. 1, 6ª Ed, LTC, 2009, p. 403 ex. 97.

Quatro planetas idênticos formam um quadrado, como mostrado na Figura 11-29. Se a massa de cada planeta é M e o lado do quadrado tem comprimento a , qual deve ser a rapidez de cada planeta, se eles devem permanecer em órbita em torno de seu centro comum, sob a influência de suas atrações mútuas?

Passo 1

Como o arranjo é simétrico, cada planeta vai apresentar a mesma força centrípeta, que aponta para o centro do quadrado. Dessa forma, vamos pegar um planeta e calcular a força centrípeta agindo sobre ele.

Passo 2

Vamos calcular então a força centrípeta resultante no planeta indicado:

A força centrípeta aponta para o centro do quadrado, logo:

F c = 2 F 1 cos ⁡ θ + F 2

Substituindo os valores:

F c = 2 G M 2 a 2 cos ⁡ 45 ° + G M 2 2 a 2 = G M 2 a 2 2 + 1 2

Passo 3

Sabemos que a força centrípeta tem a seguinte fórmula:

F c = M v 2 r

onde r = a 2 2 , que é o raio da órbita.

Logo, igualando as duas expressões que achamaos para a força centrípeta, teremos:

F c = 2 M v 2 a 2 = G M 2 a 2 2 + 1 2

v = G M a . 1 + 1 2 2 = 1 , 16 G M a

Resposta

v = 1 , 16 G M a

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