(a) Se R = 12 cm, M = 400 g e m= 50 g na Fig. 10-18, determine a velocidade do bloco após ter descido 50 cm a partir do repouso. Resolva o problema usando a lei da conservação da ener gia. (b) Repita o item (a) para R = 5,0 cm.

Passo 1

Letra (a)

Utilizando a conservação de energia teremos:

K 0 + U 0 = K f + U f

E como o sistema sai do repouso, temos que :

K 0 = 0

E considerando o nível de referência para a energia potencial gravitacional como sendo o ponto onde o bloco de massa m chega no final do movimento, teremos que:

U f = 0

Ficamos portanto com:

U 0 = K f

E essa energia cinética final será tanto pela translação do bloco para baixo quanto pela rotação da polia, portanto temos:

K f = m v 2 2 + I ω 2 2

Sabemos que a polia se trata de um disco, portanto seu momento de inércia será:

I = M R 2 2

Portanto temos:

K f = m v 2 2 + M R 2 ω 2 4

Passo 2

Podemos agora relacionar a velocidade com que o bloco cai com a velocidade angular da polia.

Como o bloco está preso por uma corda que passa na extremidade da polia, temos que esse bloco terá a mesma velocidade que a velocidade tangencial da extremidade da polia e portanto podemos fazer:

v = ω R

Ou ainda:

ω = v / R

Portanto, teremos:

K f = m v 2 2 + M R 2 v 2 4 R 2

K f = m v 2 2 + M v 2 4

Segura essa equação aí!

Passo 3

Voltando para a equação da conservação de energia:

U 0 = K f

E sabemos que a energia potencial gravitacional inicial será dada pelo bloco que está a uma distância h = 0,5 m da posição final, logo:

m g h = m v 2 2 + M v 2 4

E substituindo valores, treremos:

0,05 * 9,8 * 0,5 = 0,05 v 2 2 + 0,4 v 2 4

0,245 = 0,025 v 2 + 0,1 v 2

0,245 = 0,125 v 2

Portanto,

v 2 = 0,245 0,125

v = 1,4 m / s

Passo 4

Letra (b)

A velocidade v do bloco é a mesma do ítem (a), já que a velocidade do bloco não depende de R .

Resposta

a) v = 1,4   m / s

b) A velocidade v do bloco é a mesma do ítem (a), já que a velocidade do bloco não depende de R .

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