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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 4 - Ed: 1º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 11

11. Considere uma molécula diatômica formada por dois átomos idênticos de massa M (ex: H 2 , O 2 , ...) e separação r 0 . A molécula pode entrar em rotação (como um haltere) em torno de um eixo que passa pelo seu centro, perpendicular ao segmento que liga os dois átomos, tratado como uma barra rígida. ( a ) Aplicando a condição de quantização de Bohr, calcule os níveis de energia rotacional da molécula. ( b ) Para a molécula de H 2 , calcule a energia (em e V ) do primeiro nível rotacional, tomando r 0 ≡ 0,74   Å .

Passo 1

E aí? Vamos encarar mais de frente e mostrar quem manda? Vamos lá!

Então, para esse problema teremos que usar um pouco do nosso conhecimento de energia rotacional clássica e momento angular.

A energia rotacional de um objeto é dada por:

E R = I ω 2 2

Onde I é o momento de inércia do objeto e ômega é a velocidade angular de rotação desse objeto.

O momento de inércia da molécula usando o fato que ela se parece com um haltere é dado por:

I = M r 0 2 2

Mas cadê a parte de quantização? Calma que vamos ver ela agora.

Temos que o momento angular para um objeto simétrico pode ser definido como

L = I ω

Mas no modelo de Bohr esse momento é quantizado e pode ser dado por:

L n = n ℏ

Então podemos igualar essas expressões e encontrar um valor para ω e substituir na energia rotacional.

Vamos ao trabalho!

Passo 2

Temos então o seguinte:

L = L n

⇒ I ω = n ℏ

⇒ ω = n ℏ I

Substituindo isso na nossa energia rotacional, temos:

E R = I 2 n ℏ I 2

⇒ E R = n 2 ℏ 2 2 I

Substituindo o momento de inércia pela expressão que mostrei no passo 1 temos o seguinte:

E R = n 2 ℏ 2 2 M r 0 2 2

⇒ E n = n 2 ℏ 2 M r 0 2

Eu mudei o subscrito só para indicar que a energia é quantizada.

Prontinho chegamos aonde queríamos! Agora vamos para o item ( b ) .

Passo 3

O item ( b ) pede que calculemos a energia rotacional do H 2 para um r 0 = 0,74   Å = 0,74 ⋅ 10 - 10   m .

Para isso vamos usar o que encontramos em ( a ) e vamos precisar saber a massa do hidrogênio. A massa do átomo de hidrogênio é 1,673 ⋅ 10 - 27   k g então a molécula vai ter o dobro disso.

Assim temos o seguinte para o primeiro nível n = 1 :

E n = n 2 ℏ 2 M r 0 2

⇒ E 1 = 1,054 ⋅ 10 - 34 2 2 ⋅ 1,673 ⋅ 10 - 27 0,74 ⋅ 10 - 10 2

Então temos que:

E 1 = 0,606 ⋅ 10 - 21   J

Pronto encontramos a energia rotacional do primeiro nível, mas o enunciado pede a energia em elétron volts, para isso vamos usar a seguinte relação:

1   J = 6,242 ⋅ 10 18   e V

Logo temos que:

E 1 = 3 , 78 ⋅ 10 - 3   e V

Resposta

( a )

E n = n 2 ℏ 2 M r 0 2

( b )

E 1 = 3 , 78 ⋅ 10 - 3   e V

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