Enunciado
Física - Moysés - Vol. 4 - Ed: 1º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 6
6. Escreva as eqs. da espacial em termos das coordenadas . Note que elas adquirem uma forma mais simétrica. Usando a notação da parte , mostre que a equação de ondas
é invariante por uma espacial, mas não é invariante por uma transformação de Galileu.
Passo 1
Vamos para mais uma?
Então, primeiro para começarmos esse problema temos que saber quais são as equações das transformações de Lorentz dadas por:
Se você reparar somente a coordenada no qual temos propagação é que sobre mudança com a transformação.
Para essa primeira parte do problema vamos precisar da seguinte informação:
Para que nossa mudança de notação fique com uma cara melhor.
Andes de discutirmos o que fazer no item vou corrigir um erro na equação de onda apresentada pelo enunciado, a forma correta da equação é a seguinte:
Onde
E é uma função de , e .
Então, o item quer que provemos que com a nós recaímos na mesma estrutura de equação de onda e com a transformação de galileu isso não acontece.
A transformação de galileu é da seguinte maneira quando temos a propagação em apenas um sentido.
Vamos para a luta!
Passo 2
Começando com o item . Teremos que fazer a seguinte mudança de notação na .
A é dada por:
As primeiras três mudanças que são mais simples já nos levam ao seguinte:
Mas como você pode reparar, a quarta mudança tira variável da jogada quando ela está multiplicada por , então na primeira e última equação podemos fazer as seguintes operações:
Usando que e que , temos:
Prontinho, o item já foi concluído com sucesso.
Passo 3
Agora para o item teremos que fazer algumas considerações que vão facilitar nossa vida na hora de calcular.
Temos que é um escalar, isso satisfaz que .
Vamos considerar que estamos trabalhando com uma onda plana que se move na direção .
Mas por que isso? Você pode estar se perguntando, como temos o seguinte:
Quando fizermos a as derivadas parciais em relação a e , mudam da seguinte maneira:
Com isso o que vai nos importar saber as derivadas espaciais e temporal em termos das novas
variáveis e .
Passo 4
Nós temos a seguintes transformações de importância.
As derivadas espaciais e temporal em termos das novas variáveis são encontradas da seguinte maneira usando a regra da cadeia.
Então as derivadas se relacionam da seguinte maneira:
Achamos a relação para as derivadas de primeira ordem, agora falta encontrar para as de segunda ordem.
Passo 5
Para as derivadas de segunda ordem podemos fazer o seguinte:
Substituindo com o que encontramos no passo anterior, temos:
Agora substituindo isso que encontramos mais as derivadas em relação e na equação de onda do passo , temos:
Lembrando que:
Assim nossa expressão fica da seguinte forma:
Prontinho, como você pode ver a equação de onda mantém a forma mesmo depois da .
Passo 6
Agora temos que mostrar que isso não ocorre quando usamos a transformação de Galileu.
A transformação de Galileu é a seguinte, usando as novas notações.
Com isso já podemos tirar o seguinte:
Agora temos que ver a derivada espacial em termos da nova variável .
Analogamente ao que fizemos na , temos o seguinte:
Temos então que:
A derivada de segunda ordem fica da seguinte maneira:
Passo 7
Agora substituindo isso que encontramos mais as derivadas em relação e na equação de onda do passo , temos:
Como você pode ver, a equação de onda não continua com a mesma forma que tínhamos antes da transformada de Galileu.
Resposta
Com a :
Com a transformação de Galileu: