Enunciado
Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 14.Exercícios e Problemas - Ex. 11
A Figura mostra uma esfera de raio e massa que rola dentro de um parabolóide. Um corte no plano do parabolóide gera uma parábola cuja equação é . Escreva a lagrangeana do sistema. Calcule a frequência de oscilação da esfera para pequenas amplitudes.
Passo 1
Vem comigo que a gente detona essa questão!
Para escrever a Lagrangeana do sistema temos que saber a energia cinética e potencial desse sistema, já que:
Para descrever o problema vamos usar a coordenada generalizada , já que .
Como a esfera descreve um movimento de translação do centro de massa e de rotação ao mesmo tempo, temos que a energia cinética é da seguinte forma:
Nesse caso só temos a energia potencial gravitacional da esfera, que é da seguinte forma:
Onde é a altura da esfera em relação ao chão, então temos que escrever essas equações em termos da nossa coordena generalizada .
Para achar a frequência de oscilação dessa esfera, teremos que escrever a equação de Lagrange para a coordenada e analisar o que temos, a equação de Lagrange é da seguinte forma:
Vamos ao trabalho!
Passo 2
Vamos trabalhar com a energia cinética, temos que ela é:
Usando que , temos:
O momento de inércia da esfera é dado por:
Então temos que:
Só que a esfera tem deslocamento na direção e , logo temos que:
Mas sabemos que:
Então:
Logo temos que a energia cinética é:
Passo 3
Agora vamos ver a energia potencial, temos que:
Usando o que sabemos para , temos:
Juntando tudo, temos que a nossa lagrangeana é dada por:
Passo 4
Agora vamos escrever a equação de Lagrange para , mas vamos considerar pequenas amplitudes, logo , então esse termo pode ser desprezado. Vamos calcular cada parte da equação separadamente depois juntamos tudo.
Primeiro vamos calcular , temos:
Agora vamos calcular , então:
Agora por último , temos:
Juntando tudo temos:
Isso tem a cara de um oscilador harmônico e a sua frequência angular é dada por:
E usando que , temos que a frequência de oscilação é:
E com isso terminamos essa questão!