Enunciado

Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 14.Exercícios e Problemas - Ex. 11

A Figura mostra uma esfera de raio e massa que rola dentro de um parabolóide. Um corte no plano do parabolóide gera uma parábola cuja equação é . Escreva a lagrangeana do sistema. Calcule a frequência de oscilação da esfera para pequenas amplitudes.

Passo 1

Vem comigo que a gente detona essa questão!

Para escrever a Lagrangeana do sistema temos que saber a energia cinética e potencial desse sistema, já que:

Para descrever o problema vamos usar a coordenada generalizada , já que .

Como a esfera descreve um movimento de translação do centro de massa e de rotação ao mesmo tempo, temos que a energia cinética é da seguinte forma:

Nesse caso só temos a energia potencial gravitacional da esfera, que é da seguinte forma:

Onde é a altura da esfera em relação ao chão, então temos que escrever essas equações em termos da nossa coordena generalizada .

Para achar a frequência de oscilação dessa esfera, teremos que escrever a equação de Lagrange para a coordenada e analisar o que temos, a equação de Lagrange é da seguinte forma:

Vamos ao trabalho!

Passo 2

Vamos trabalhar com a energia cinética, temos que ela é:

Usando que , temos:

O momento de inércia da esfera é dado por:

Então temos que:

Só que a esfera tem deslocamento na direção e , logo temos que:

Mas sabemos que:

Então:

Logo temos que a energia cinética é:

Passo 3

Agora vamos ver a energia potencial, temos que:

Usando o que sabemos para , temos:

Juntando tudo, temos que a nossa lagrangeana é dada por:

Passo 4

Agora vamos escrever a equação de Lagrange para , mas vamos considerar pequenas amplitudes, logo , então esse termo pode ser desprezado. Vamos calcular cada parte da equação separadamente depois juntamos tudo.