Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Física - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 8.5 - Ex. 108

O disco possui um momento de inércia de massa I O em relação a O e é movido por uma mola de torção com constante K . A posição dos pequenos cursores, cada um dos quais possui uma m , é ajustável. Determine o valor de x para o qual o sistema tem um período conhecido τ .

Passo 1

Um disco gira ao redor de seu centro, e o movimento é resistido por uma mola de torção.

Dados da questão (tudo conhecido!):

  • Massa de cada cursor: m .
  • Momento de inércia do disco em relação a O : I O .
  • Rigidez da mola: K .
  • Período de oscilação: τ .

Queremos saber qual é o valor x da distância de cada curso ao centro O . Vamos ver a expressão das energias para montar a equação do movimento de rotação. Aí a gente compara os termos para achar qual a expressão dá o período de oscilação τ (valor conhecido!), e com isso conseguimos determinar x .

Passo 2

Achar a equação do movimento é bem fácil nessa questão se pensarmos em energia. Considere o equilíbrio para o θ = 0 e escolhe a energia potencial como zero nessa situação.

A energia cinética do sistema vai ser a soma da rotação dos discos mais a rotação dos cursores.

K = 1 2 I 0 θ ˙ 2 + 1 2 ⋅ 2 m x 2 ⋅ θ ˙ 2

E a energia potencial vai ser muito fácil! É devido a deformação na mola de torção:

V = 1 2 K θ 2

Agora podemos montar a equação do movimento!

Passo 3

Como não há forças externas atuando, a energia se conserva. Então a derivada dela no tempo é zero:

d K + V d t = 0

I O + 2 m x 2 θ ˙ ⋅ θ ¨ + K θ ⋅ θ ˙ = 0

θ ¨ + K I O + 2 m x 2 θ = 0

Agora é só comparar com a equação usual para achar a frequência natural ω n :

x ¨ + ω n 2 x = 0

Aí, lembre-se que τ = 2 π / ω n .

τ = 2 π I O + 2 m x 2 k

Aí dando uma ajeitada, a gente encontra o x finalmente:

x = K τ 2 4 π 2 - I O 2 m

Resposta

Distância dos cursores a O :

x = K τ 2 4 π 2 - I O 2 m

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

30. Um orgulhoso pescador de águas marinhas profundas pendurou um peixe de 65,0k g na extremidade de uma mola ideal de massa desprezível. O peixe estica amola de 0,120m . a ) Qual é a constante da mol
32. Um gato com massa igual a 4,0k g está preso por arreios a uma mola ideal de massa desprezível e oscila verticalmente em M H S . A amplitude do movimento é 0,050m . No ponto mais alto do movimento,
31. Um corpo de 175g sobre um trilho de ar horizontal, sem atrito, é preso a uma mola fixa ideal de constante 155N / m . No instante que você efetua medições sobre o corpo, ele estará se movendo a 0,8
33. Uma bola de 1,50k g e outra de 2,0k g são coladas uma na outra, a mais leve embaixo da mais pesada. A bola de cima é presa mola vertical de constante 165N / m e o sistema está vibrando verticalmen
Um temor de terra coloca em vibração no sentido vertical, com frequência angular ω = 20 s - 1 e amplitude de 4c m , uma plataforma horizontal, sobre a qual está colocado um bloquinho de madeira. A pla