Enunciado
Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 13.Exercícios e Problemas - Ex. 5
. Considere o pêndulo simples mostrado na Figura do texto. Suponha que o pêndulo seja abandonado, do repouso, no instante , a um ângulo . Obtenha a função que descreve a evolução da tensão do fio com o tempo.
Passo 1
Vem comigo que a gente detona com essa questão!
Em um pêndulo simples, temos que a força resultante na direção radial é igual a força centrípeta, já que o movimento do pêndulo é um movimento circular incompleto com isso temos que:
Onde para o nosso caso, então:
Só que tanto o ângulo como a velocidade , variam no tempo. Para pequenas oscilações temos que a aceleração tangencial da partícula e a aceleração angular, são dadas por:
E é a partir disso que vamos chegar em uma expressão para e que dependam de .
Passo 2
Primeiro vamos mexer com a equação da aceleração angular.
Essa equação é igual a equação que de osciladores harmônicos se chamarmos , com isso temos que a solução dessa equação é:
Podemos encontrar os valores de e com as condições iniciais. Para temos que , assim:
Para achar o valor de , vamos derivar a expressão que temos para , assim temos:
Segundo o enunciado o pêndulo parte do repouso, logo , assim:
Juntando isso que encontramos, temos que:
Passo 3
Agora vamos mexer com a equação da aceleração tangencial, temos o seguinte:
Com isso temos que:
Mas como o pêndulo parte do repouso, temos que .
No passo anterior encontramos uma expressão para , usando isso temos:
Passo 4
Juntando tudo isso na expressão da tensão que vimos no passo , temos:
Só que na aproximação de pequenos ângulos, temos que , assim:
Substituindo o que encontramos para temos:
Usando que , temos:
Com isso chegamos na expressão que descreve o valor da tensão em função do tempo .