Enunciado
Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 11.Exercícios e Problemas - Ex. 11
11.11P Considere a Terra como uma esfera homogênea, e suponha que um estreito túnel seja feito passando pelo seu centro, como exposto no Exemplo 11.1. Um corpo é abandonado com velocidade nula na entrada do túnel. A) Descreva qualitativamente o movimento do corpo. B) Calcule a sua velocidade ao passar pelo centro da Terra.
Passo 1
Belezoca galerinha, quando o objeto é liberado da superfície do planeta, ele possui velocidade nula e a partir desse momento a força gravitacional da Terra vai começar a realizar um trabalho sobre o corpo durante toda sua queda pela túnel até o centro da Terra, percorrendo uma distância . Dessa maneira, quando ele atingir o centro da Terra, ele vai possuir velocidade máxima, devido a energia que o trabalho da força gravitacional forneceu pro objeto.
Passo 2
Iradoso galeura, agora pra gente calcular a velocidade final podemos usar a nossa expressão que relaciona o trabalho de uma força com a variação da energia cinética:
Logo:
Mas como a velocidade inicial é nula, , temos que:
Maaaasssss, agora que vem a malandragem, porque a força que atua sobre o objeto, é uma força variável, já que a força gravitacional varia com o quadrado da distância. Dessa maneira, pra calcular o trabalho de uma força variável , em uma dimensão, por um caminha de tamanho , teremos que:
Onde o intervalo representa o percurso até o centro da Terra, quando o objeto está em queda. Enquanto é a nossa força gravitacional, que devido a forma que o objeto cai (tendo a distância até o centro da Terra menor que o raio da Terra ) é expressa como:
Tal que o trabalho será:
Passo 3
Resolvendo a integral, obtemos que:
Show de bolinhas, então se a gente igual o trabalho com a variação da energia cinética, vamos obter que:
Logo:
E se a gente substituir os valores, descobrimos que a velocidade de uma queda livre até o centro da Terra é:
Ou em :