Enunciado
Física - Fundamentos de Física Volume 2 - Gravitação, Ondas e Termodinâmica - 8ª Edição - David Halliday, Jearl Walker e Robert Resnick- Ed: 8º - Capítulo 13.5 - Ex. 26
Suponha que um planeta é uma esfera homogênea de raio R que (de alguma forma) possui um túnel radial estreito que passa pelo centro do planeta (Figura. 13-7). Suponha também que é possível posicionar uma maça em qualquer lugar do túnel ou do lado de fora do planeta. Seja o módulo da força gravitacional experimentada pela maça quando está na superfície do planeta. A que distância da superfície está o ponto n qual o módulo da força gravitacional que o planeta exerce sobre a maçã é se a maçã for deslocada (a) para longe do planeta e (b) para dentro do túnel?
Passo 1
Antes de tudo, a gente tem que saber que, se a gente se afasta do planeta a força da gravidade diminui, e se a gente entrar pra dentro do planeta (que tem distribuição contínua e uniforme de massa), a gravidade também diminui. Beleza. Vamos calcular primeiro a força da gravidade que atua sobre a maçã de massa na superfície da Terra, que tem um raio .
Onde é a massa do planeta e é a massa da maçã.
Agora, vamos ver a que distância da superfície do planeta (caminhando pra longe dele), essa força se reduz à metade.
Logo, pra gente achar a distância a partir da superfície, a gente tem que subtrair . Então:
Passo 2
Na letra (b), vamos fazer a mesma coisa, com a diferença que a força da gravidade dentro de um corpo esférico com distribuição contínua de massa varia linearmente com , e não inversamente proporcional a , como ocorre quando se está fora dele (spoiler: vamos usar a equação 13-19). Não acredita em mim? Vou te mostrar:
Usando a Eq. 13-19:
Sabemos que a densidade :
Onde , já que estamos calculando sobre uma esfera. Logo, substituindo :
Belezinha? Essa é a força gravitacional que citei ali em cima! E ela realmente varia linearmente com . 😊
Passo 3
Dito isto, a gente quer que essa força seja metade da que encontramos na superfície, que era:
Então, igualamos a força à metade da força na superfície:
E achamos que:
Resposta
(a)
(b)