Enunciado

Suponha que um planeta é uma esfera homogênea de raio R que (de alguma forma) possui um túnel radial estreito que passa pelo centro do planeta (Figura. 13-7). Suponha também que é possível posicionar uma maça em qualquer lugar do túnel ou do lado de fora do planeta. Seja F R o módulo da força gravitacional experimentada pela maça quando está na superfície do planeta. A que distância da superfície está o ponto n qual o módulo da força gravitacional que o planeta exerce sobre a maçã é F R / 2 se a maçã for deslocada (a) para longe do planeta e (b) para dentro do túnel?

Passo 1

Antes de tudo, a gente tem que saber que, se a gente se afasta do planeta a força da gravidade diminui, e se a gente entrar pra dentro do planeta (que tem distribuição contínua e uniforme de massa), a gravidade também diminui. Beleza. Vamos calcular primeiro a força da gravidade F R que atua sobre a maçã de massa m na superfície da Terra, que tem um raio R .

F R = G M m R 2

Onde M é a massa do planeta e m é a massa da maçã.

Agora, vamos ver a que distância r da superfície do planeta (caminhando pra longe dele), essa força se reduz à metade.

F R 2 = G M m 2 R 2 = G M m r 2

r = 2 R

Logo, pra gente achar a distância a partir da superfície, a gente tem que subtrair R . Então:

r - R = 2 - 1 R = 0,414 R

Passo 2

Na letra (b), vamos fazer a mesma coisa, com a diferença que a força da gravidade dentro de um corpo esférico com distribuição contínua de massa varia linearmente com r , e não inversamente proporcional a r 2 , como ocorre quando se está fora dele (spoiler: vamos usar a equação 13-19). Não acredita em mim? Vou te mostrar:

Usando a Eq. 13-19:

F = 4 π G m r ρ 3

Sabemos que a densidade ρ = M / V :

F = 4 π G m r 3 × M V

Onde V = 4 π R 3 3 , já que estamos calculando sobre uma esfera. Logo, substituindo V :

F = 4 π G m r 3 × 3 M 4 π R 3

F = G M m r R 3

Belezinha? Essa é a força gravitacional que citei ali em cima! E ela realmente varia linearmente com r . 😊

Passo 3

Dito isto, a gente quer que essa força seja metade da que encontramos na superfície, que era:

F G 2 = G M m 2 R 2

Então, igualamos a força F à metade da força na superfície:

G M m 2 R 2 = G M m r R 3

E achamos que:

r = R 2

Resposta

(a) 2 - 1 R = 0,414 R

(b) R 2

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