Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 12.Exercício - Ex. 9

12.9. Determine o módulo, a direção e o sentido da força gravitacional resultante exercida pelo Sol e pela Terra sobre a Lua quando a Lua está em cada uma das posições indicadas na Figura 12.32 (Note que a figura não está desenhada em escala. Suponha que o Sol esteja no plano da órbita da Lua em torno da Terra, embora esse caso seja raro.) Use dados do Apêndice F.

Passo 1

Vamos começar pelo item (a), os astros estão na seguinte disposição

Vamos lembrar de como se calcular a força de atração gravitacional

Onde e são as massas, é a distância entre os centros de gravidade dos corpos e é a constante gravitacional universal

Precisamos calcular as forças de interação entre a Terra e a Lua e a Terra e o Sol, somar vetorialmente e aí temos nossa força resultante. O interessante é o que o apêndice do livro nos dá a massa da Terra, a massa do Sol, a massa da Lua, a distância entre o a Terra e a Lua, a distância entre a Terra e o Sol e o raio da Terra, e isso é tudo que a gente precisa.

Vamos começar a resolver o primeiro item. Primeiro vamos calcular a força de interação entre a Terra e a Lua

E fazendo essa continha temos

E agora vamos fazer a força de interação entre o Sol e a Lua. O interessante aqui é perceber que a distância entre o Sol e Lua vai ser a distância entre o Sol e Terra somado com a distância entre a Lua e a Terra

Agora vamos fazer essa conta

Agora para ter a força total, a gente pode só somar direto as duas forças que calculamos, porque elas estão no mesmo sentido e direção.

Então a resposta do item (a) é

Módulo:

Direção: A linha que cruza os centros gravitacionais

Sentido: Em sentido ao Sol

Passo 2

Agora vamos para o segundo caso

Olha só, a distância entre a Lua e a Terra permaneceu a mesma que no exercício anterior, então a gente não precisa calcular a força de novo 😊!

Agora, a distância entre o Sol e a Lua muda :/, e para descobrir a nova distância, a gente vai precisar de um pouco de Pitágoras.

Temos esse triângulo, e a hipotenusa é a distância entre o Sol e a Lua, os catetos são as distâncias entre a Terra e a Lua e entre a Terra e o Sol. Vamos calcular

Olha só, podemos aproximar a distância entre a Lua e o Sol à distância entre a Terra e o Sol.

Agora vamos calcular essa força

Fazendo essa conta

Agora vamos somar vetorialmente.

Temos essas forças agindo na Lua

Agora a gente só precisa fazer a decomposição da força de interação entre o Sol e a Lua.

Vamos fazer isso

E agora vamos calcular para y

Então

Então para calcular o módulo

Já vamos calcular também a direção da força resultante, basta calcular

Logo

Então item (b) é

Módulo:

Direção: 89,85° a partir do eixo x

Sentido: Em sentido ao quarto quadrante

Passo 3

Agora finalmente vamos para o último item

Bem, de novo a Lua continua à mesma distância da Terra, então não precisamos calcular 😊!

Agora vamos de novo ver a distância entre o Sol e a Lua, agora repare que essa distância é a mesma coisa que a distância entre o Sol e a Terra menos a distância entre a Terra e a Lua. Agora é só calcular.