Uma rede de firação tem uma resolução R = λ m é d Δ λ = N m é . (a) Mostre que a diferença entre as frequências que podem ser resolvidas no limita da resolução, Δ f , é dada por Δ f = c N m λ . (b) Mostre que a diferença entre os tempos de percurso do raio de baixo e do raio de cima da figura é dada por Δ t = N d c sen ⁡ θ . (c) Mostre que Δ f Δ t = 1 e, que, portanto, esse produto não depende dos parâmetros da rede. Suponha que N ≫ 1 .

(a) Demonstração.(b) Demonstração.(c) Demonstração.

Enunciado

Física - Halliday - Vol 4- Ed: 10º - Capítulo 36.Problemas adicionais - Ex. 79

Uma rede de firação tem uma resolução . (a) Mostre que a diferença entre as frequências que podem ser resolvidas no limita da resolução, , é dada por . (b) Mostre que a diferença entre os tempos de percurso do raio de baixo e do raio de cima da figura é dada por . (c) Mostre que e, que, portanto, esse produto não depende dos parâmetros da rede. Suponha que .

Passo 1

(a) Vamos começar lembrando da relação entre a frequência e o comprimento de onda de uma onda de luz:

Para encontrar a relação entre uma “faixa de frequências” e uma “faixa de comprimentos de onda”, vamos derivar essa função em relação a :

Que pode ser escrita, em forma aproximada, de um outro jeito:

Agora vamos pegar a igualdade que foi dada no enunciado (aproximando ):

Juntando as duas expressões:

E já que estamos interessados apenas na diferença entre as frequências, podemos ignorar o sinal negativo:

Passo 2

(b) Se a diferença entre os caminhos percorridos pelos dois raios é , e eles se propagam com velocidade , a diferença no tempo de percurso entre os dois é:

Agora precisamos calcular essa diferença de caminho. Vamos fazer um desenho para ajudar:

Então:

Como estamos falando de uma rede de difração, o número de fendas deve ser muito grande, então :

Passo 3

Então:

Mas nós sabemos que , então:

Resposta

(a) Demonstração.

(b) Demonstração.

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