13. A ponta da agulha de uma máquina de costura se move com MHS ao longo de um eixo O x com uma frequência igual a 2,5   H z . Em t = 0 os componentes da posição e da velocidade são respectivamente, + 1,1   c m e - 15   c m / s . a ) Ache o componente da aceleração da agulha para t = 0 . b ) Escreva equações para os componentes da posição, da velocidade e da aceleração do ponto considerado em função do tempo.

Passo 1

O caso que o enunciado pede para analisarmos pode ser considerado um movimento harmônico simples (MHS), que surpresa isso aparecer nesse capítulo kkk.

Para achar a componente da aceleração da agulha em t = 0 , podemos utilizar a seguinte equação:

a = - ω 2 x

Para encontramos o que é pedido no item ( b ) basta usar as seguintes equações:

x t = A cos ⁡ ( ω t + ϕ )

v t = - ω A s en ⁡ ( ω t + ϕ )

a t = - ω 2 A co s ⁡ ( ω t + ϕ )

Para completar essas equações e encontrar o que o enunciado pede temos que achar A ,   ω e ϕ .

Para encontrar a amplitude desse movimento podemos usar a equação 3.19 :

A = x 0 2 + v 0 x 2 ω 2

Só que o enunciado não nos fornece ω , mas se lembrarmos que:

ω = 2 π f

Já que a frequência é fornecida pelo enunciado, então fica molhezinho.

Agora para encontrar o ângulo de fase, vamos usar a equação para um MHS (equação 13.18 ), que é a seguinte:

ϕ = arctan ⁡ - v 0 x ω x 0

Passo 2

Primeiro vamos achar ω que é dado por:

ω = 2 π f

= 2 π ( 2,5 )

= 15,71

Passo 3

Vamos encontrar a aceleração em t = 0 então.

a = - ω 2 x

⇒ a = - 15,71 2 0,011

⇒ a = - 2,71   m / s 2

Passo 4

Vamos então encontrar a amplitude desse movimento.

Então temos:

A = x 0 2 + v 0 x 2 ω 2

E lembrando que como em t = 0 temos:

x 0 = 1,1   c m

v 0 = - 15   c m / s

Então:

A = 1,1 2 + - 15 2 15,71 2

= 2,121

= 1,46   c m

Passo 5

Agora vamos encontrar o ângulo de fase do nosso sistema.

Temos que:

ϕ = arctan ⁡ - v 0 x ω x 0

Logo:

ϕ = arctan ⁡ - ( - 0,15 ) 15,71 ( 0,011 )

= arctan ⁡ 0,868

⇒ ϕ = 0,715   r a d

Passo 6

Agora que temos a amplitude e o ângulo de fase, podemos montar a equação da posição, da velocidade e da aceleração, tudo em função do tempo. Então:

x t = A cos ⁡ ( ω t + ϕ )

⇒ x t = 1,46 cos ⁡ 15,71 t + 0,715

v t = - ω A sen ⁡ ( ω t + ϕ )

⇒ v t = - 1,46 * 15,71 s en ⁡ 15,71 t + 0,715

⇒ v t = - 22,9 sen ⁡ 15,71 t + 0,715

a t = - ω 2 A cos ⁡ ( ω t + ϕ )

⇒ a t = - 1,46 * 15,71 2 co s ⁡ 15,71 t + 0,715

⇒ a t = - 360,33 co s ⁡ 15,71 t + 0,715

Resposta

( a )

a = - 2,71   m / s 2

( b )

x t = 1,46 cos ⁡ 15,71 t + 0,715

v t = - 22,9 sen ⁡ 15,71 t + 0,715

a t = - 360,33 cos ⁡ 15,71 t + 0,715

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