Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.Exercício - Ex. 24
24. Uma animadora de torcida faz seu pompom oscilar em com uma amplitude e frequência igual a . Ache: o módulo da velocidade e da aceleração máxima; o módulo da velocidade e da aceleração quando a coordenada do pompom é ; o tempo necessário para ele se deslocar da posição de equilíbrio até o ponto a parti do equilíbrio. Quais das grandezas solicitadas nas partes e podem ser obtidas usando-se o método da energia da seção 13,3 e quais não podem? Explique.
Passo 1
A velocidade pedida no item com base na conservação de energia mecânica:
Lembrando que, quando um objeto em está na posição , ele só tem energia potencial, logo:
Temos então que:
Para encontrar a velocidade máxima do pompom, basta lembrar que em um a velocidade máxima acontece no ponto de equilíbrio onde podemos considerar esse ponto em , nada no enunciado nos impede de considerar esse ponto.
A velocidade no ponto , pedida no item também é obtida através da fórmula acida da conservação de energia.
Agora para achar aceleração máxima (item ) e no mesmo ponto mencionado acima (item ), basta usar a segunda lei de Newton, já que sabemos que só existe a força que pode ser considerada elástica (já que é um ) atuante no sistema, logo:
Onde temos que , assim:
E para achar a energia total, basta substituir os valores que conhecemos na fórmula da energia total que comentei mais acima.
Para achar o intervalo de tempo que o pompom leva do ponto até , basta fazer
Onde para e para
E vamos achar esses temos através da fórmula
Passo 2
Vamos então encontrar os módulos da aceleração e da velocidade.
Começando com a aceleração temos:
Onde , já que esse é o ponto com maior aceleração.
Então temos que:
Como queremos o módulo, temos:
Agora vamos encontrar o módulo da velocidade máxima. Assim:
Lembrando que:
Então temos que:
Substituindo o que temos, ficamos com:
Passo 3
Agora para encontrar a velocidade e a aceleração em , basta fazer a mesma coisa que fizemos no item anterior, agora substituindo .
Vamos começar com a aceleração, assim:
Então temos que:
Agora vamos achar a velocidade nesse mesmo ponto.
Então temos que:
Passo 4
Agora vamos descobrir os valores de para e para .
Vamos começar com :
Então temos que:
O sinal é negativo, já que o pompom está indo para o lado positivo. Continuando:
Agora para , temos:
Então temos que:
Sabendo que:
Então:
E
Assim nosso intervalo de tempo é:
Passo 5
A equação de conservação da energia relaciona e e relaciona e . Então a velocidade e aceleração podem ser encontradas pelo método da energia, mas o tempo não pode.
O tempo não pode ser obtido pelo método da energia já que a energia mecânica é constante durante todo movimento, logo não temos nenhuma variação temporal presente na fórmula.