Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 63
63. MHS no motor de um carro. O movimento de um pistão no interior do motor de um carro (Figura ) é aproximadamente um . Sabendo que o percurso (o dobro da amplitude) é igual a e que o motor gira com , calcule a aceleração do pistão no ponto final do percurso. Sabendo que a massa do pistão é igual a , qual é a força resultante exercida sobre ele nesse ponto? Calcule a velocidade e a energia cinética do pistão no ponto médio do percurso. Qual é a potência média necessária para acelerar o pistão do repouso até a velocidade calculada no item ? Se o motor girar a , quais serão as respostas das partes e ?
Passo 1
Vamos ver o que cada item precisa para ser resolvido.
A aceleração do pistão no ponto mais baixo é máxima, já que o pistão realiza um , assim temos que:
O enunciado fala que o percurso de é o dobro da amplitude, então:
A força resultante no pistão nesse ponto pode ser encontrada através da segunda lei de Newton, que é:
Nesse caso teremos a aceleração máxima calculada no item anterior, então:
A velocidade em um pode ser encontra através da seguinte fórmula:
E se temos a velocidade fica fácil achar a energia cinética, que é dada por:
Para achar a potência utilizada para sair do repouso até o ponto do item , podemos utilizar a seguinte fórmula:
Mas lembrando que trabalho é igual a variação de energia cinética, temos:
Só que no repouso não temos energia cinética, então só a energia calculada no item colabora para a potência.
Passo 2
Vamos achar a aceleração máxima do pistão, temos o seguinte:
Sabendo que e que , temos:
Passo 3
Agora vamos achar a força máxima no ponto final do percurso, temos:
Sabendo que e que , temos:
Passo 4
Vamos encontrar a velocidade e assim que acharmos a velocidade poderemos calcular a energia cinética.
Temos que:
Sabendo que e que , temos:
Agora fica tranquilo acharmos a energia cinética, assim:
Sabendo que e que , temos:
Passo 5
Agora vamos calcular a potência necessária para sair do repouso até o ponto mencionado no item , temos:
Mas como só temos energia cinética no final, que é a mesma que calculamos acima, ficamos com:
O tempo que ele leva pra sair da posição inicial até o ponto médio do percurso é um quarto do período, assim:
Então temos que:
Então nossa potência fica:
Passo 6
Quando mudamos a frequência angular de para , todas as grandezas que calculamos até agora mudam, ficamos com os seguintes novos valores:
Para achar esses valores basta repetir todas as contas que fizemos anteriormente colocando a nova frequência angular.