82. Um exemplo interessante de oscilação, embora impraticável, é o movimento de um objeto que é deixado cair em um furo que atravessa a Terra de um extremo ao outro, passando pelo centro. Usando a hipótese (que não é realista) de que a Terra seja uma esfera com densidade uniforme, prove que o movimento é harmônico simples e determine seu período. (Observação: A força gravitacional que atua sobre o objeto em função da distância ao centro da Terra foi calculada no Exemplo (Seção ). O movimento é harmônico simples quando a aceleração e o deslocamento do equilíbrio são relacionados pela Equação , e o período é então dado por .)

A força que o enunciado menciona do exemplo é a seguinte:

Essa força que seri a nossa força elástica, onde:

E

Pela equação , temos:

Mas sabemos que :

Substituindo temos:

Mas como falei acima a força gravitacional pode ser escrita da seguinte maneira:

Assim:

Logo o movimento é harmônico simples.

Nesse problema teremos que chegar em uma fórmula para o período, não podemos ir usando a que já conhecemos, porque não sabemos o valor exato de , mas sabemos que:

Dividindo os dois lados por :

Lembrando que , ficamos com:

Vamos lembrar de como é a fórmula da gravidade, é a seguinte:

Assim, temos que:

Sabendo que , podemos resolver nosso problema.