13.14P* A) Mostre que as raízes enésimas da unidade são . B) Mostre que em um gráfico no plano complexo , os pontos formas os vértices de um polígono de lados inscritos no círculo de raio .

Show de bolinhas, agora que a brincadeira começa a ficar divertida. Se liga, um número complexo também pode ser expresso da forma polar, tal que:

Da mesma maneira para , mas com outros parâmetros, temos:

Onde e são os respectivos módulos de cada número imaginário. Logo, nossa igualdade será:

Mas calma lá jovem mancebo, porque o bizu master aqui, é a gente aplicar a Fórmula de De Moivre, que nos diz que, para parâmetros unitários a seguinte igualdade é satisfeita:

E se a gente substituir na equação, obtemos que:

Logo:

Então pela semelhança de números imaginários, chegamos nas igualdades:

Portanto:

Onde representa o número de voltas que o ângulo pode dar para um dado , tal que . Sabendo disso, podemos voltar na nossa igualdade e substituir os termos, tal que:

Portanto a raiz n-ésima de um número complexo é dada pela expressão:

Onde é nosso conhecidíssimo ângulo expresso pela relação:

Dado o número complexo .

Show, descobrimos então como encontrar a raiz n-ésima de qualquer número expresso como:

MAAASSS, o enunciado quer a gente faça isso para o número .

Mas se liga só, no número imáginario, representamos a parte imaginária e a parte real , no caso do número temos somente a parte real, tal que:

De forma que e . Belezoca, então o módulo desse número será:

Dessa maneira, podemos expressar as raízes como:

Além disso, vamos ter que o ângulo será:

Portanto as raízes de serão da forma:

Iradoso, só que agora podemos lembrar da representação de Euler para um número imaginário que diz que:

E como vimos, o módulo da nossa unidade é , . E além disso, nosso ângulo é dadao por:

Logo, podemos reescrever nossa representação como: