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Enunciado

Física - Alaor Chaves- Ed: 1º - Capítulo 14.Exercícios e Problemas - Ex. 2

14.2E Considere um oscilador harmônico constituído de uma massa m forçada por uma mola de constante elástica k . As condições iniciais do oscilador são x 0 = A ,   v 0 = 0 . A) Mostre que a lagrangeana do oscilador varia no tempo na forma L = 1 2 k A 2 cos 2 ⁡ ω 0 t - sin 2 ⁡ ω 0 t . B) Calcule a ação do oscilador no intervalo de tempo entre 0 e T = 2 π ω 0 .

Passo 1

Belezoca galerinha, temos que a ação S sobre um movimento é dada por:

S = ∫ t 0 t 1 K - V   d t

Onde K é a energia cinética, e V é a energia potencial do sistema. Essa ação é calculada durante um intervalo t 0 e t 1 . O enunciado nos deu que uma massa m oscila forçada por uma mola de constante k , além disso ela possui amplitude A e ângulo de fase ϕ = 0 , dessa maneira, pelas equações do movimento harmônico temos que:

x = x m cos ⁡ ω 0 t + ϕ

v = - ω 0 x m sin ⁡ ω 0 t + ϕ

Tal que:

x = A cos ⁡ ω 0 t

v = - ω 0 A sin ⁡ ω 0 t

Sendo assim, temos que a energia cinética será:

K = 1 2 m v 2

K = 1 2 m - ω 0 A sin ⁡ ω 0 t 2

K = 1 2 m ω 0 2 A 2 sin 2 ⁡ ω 0 t

E como estamos tratando de um oscilador harmônico de massa-mola, temos que:

ω 0 2 = k m

k = m ω 0 2

Logo, a energia cinética será:

K = 1 2 k A 2 sin 2 ⁡ ω 0 t

Passo 2

Agora a energia potencial é dada por:

V = 1 2 k x 2

E como temos x = A cos ⁡ ω 0 t , a energia potencial será:

V = 1 2 k A cos ⁡ ω 0 t 2

V = 1 2 k A 2 cos 2 ⁡ ω 0 t

Portanto, a lagrangeana S da ação é:

L = K - V

L = 1 2 k A 2 sin 2 ⁡ ω 0 t - 1 2 k A 2 cos 2 ⁡ ω 0 t

L = - 1 2 k A 2 cos 2 ⁡ ω 0 t - 1 2 k A 2 sin 2 ⁡ ω 0 t

Passo 3

Agora queremos a ação no intervalo de tempo t 0 = 0 e t 1 = 2 π ω 0 , logo:

S = ∫ t 0 t 1 K - V   d t

S = ∫ 0 2 π ω 0 1 2 k A 2 sin 2 ⁡ ω 0 t - 1 2 k A 2 cos 2 ⁡ ω 0 t   d t

S = - 1 2 k A 2 ∫ 0 2 π ω 0 cos 2 ⁡ ω 0 t - sin 2 ⁡ ω 0 t   d t

E como temos a identidade trigonométrica cos 2 ⁡ ω 0 t - sin 2 ⁡ ω 0 t = cos ⁡ 2 ω 0 t , temos que:

S = - 1 2 k A 2 ∫ 0 2 π ω 0 cos ⁡ 2 ω 0 t   d t

E como ∫ 0 2 π ω 0 cos ⁡ 2 ω 0 t   d t = 0 , obtemos que a ação do oscilador é:

S = 0

Resposta

  1. Demonstração
  2. S = 0
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