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Enunciado

Física - Moysés - Vol. 4 - Ed: 1º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 8

Para verificar o possível efeito de correções relativísticas na teoria de Bohr do átomo de hidrogênio, pode-se calcular a razão v / c , onde v é a velocidade do elétron no estado fundamental do átomo. Mostre que

v c = α ,           α ≡ q 2 ℏ c

onde α é chamada de constante de estrutura fina. Mostre que α ≈ 1 / 137 , de modo que v / c < 1 %

Passo 1

Primeiro de tudo, só uma analise rápida: qual é a unidade de α ?

Nenhuma! Ele é a razão de duas velocidades. Agora, olhando ali pra definição que ele nos deu, vamos ver e se, de fato, não tem unidade:

α ≡ q 2 ℏ c

α = C 2 J s m s = C 2 J m = C 2 s 2 k g m 3

Opa! Isso não tá certo... Mas é porque no livro do Moyses ele não usa aquelas constantes fundamentais que servem para equilibrar tudo, como o ϵ 0   por exemplo. Para o α ficar sem unidade, temos que:

α = q 2 K 0 ℏ c

Onde K 0   é constante eletrostática no vácuo.

E

K 0 = 8,9875 × 10 9 N m 2 / C 2

Vamos verificar as unidades novamente:

α = q 2 K 0 ℏ c

α = C 2 N m 2 / C 2 J s m s = C 2 k g m s 2   m 2 k g m 3 s 2 C 2 = 1

Agora sim!!

α = q 2 K 0 ℏ c

Substituindo os valores:

q = 1,6 × 10 - 19 C

ℏ = 1,0546 × 10 - 34 J s

α = ( 1,6 × 10 - 19 ) 2 8,9875 × 10 9 1,0546 × 10 - 34   3 × 10 8

α ≅ 0,00727 ≅ 1 137

Maravilha!!

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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