Enunciado
Física - Física de Sears & Zemansky: Mecânica Volume 1 - 12ª Edição - Hugh D. Young e Roger A. Freedman- Ed: 12º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 93a
1.93a Um cubo é colocado de modo que um dos seus vértices esteja na origem e três arestas coincidam com os eixos e de um sistema de coordenadas (Figura 1.43). Use vetores para calcular: a) o ângulo entre a aresta ao longo do eixo (linha ) e a diagonal da origem até o vértice oposto (linha ); b) o ângulo entre a linha (a diagonal de uma das faces) e a linha .
Passo 1
Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos diz que um cubo é colocado de modo que um dos seus vértices esteja na origem e três arestas coincidam com os eixos , e de um sistema de coordenadas da seguinte forma:
Queremos calcular, usando vetores, o ângulo entre a aresta ao longo do eixo (linha ) e a diagonal da origem até o vértice oposto (linha ).
Em outras palavras, o enunciado nos pede o ângulo entre a linha () que vamos chamar de vetor , que é a aresta em , e a linha (), que está definida em todas as dimensões positivas.
Pra resolver essa questão vamos considerar que todas as arestas têm módulo igual a .
Então vamos resolver! 😉
Passo 2
Sabemos que o módulo A é igual a 1. Agora precisamos achar o módulo .
Assim, pelos vetores unitários, temos:
Passo 3
Agora é usamos a equação 1.21 pra saber o produto escalar entre e .
Essa equação é a seguinte:
Aplicando os valores, temos:
Passo 4
Da equação 1.18, temos:
Substituindo os valores:
E é só tirarmos o arco-cosseno que descobrimos o ângulo:
E o encontramos! 😉