1.93a Um cubo é colocado de modo que um dos seus vértices esteja na origem e três arestas coincidam com os eixos x ,   y   e   z de um sistema de coordenadas (Figura 1.43). Use vetores para calcular: a) o ângulo entre a aresta ao longo do eixo z (linha a b ) e a diagonal da origem até o vértice oposto (linha a d ); b) o ângulo entre a linha a c (a diagonal de uma das faces) e a linha a d .

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos diz que um cubo é colocado de modo que um dos seus vértices esteja na origem e três arestas coincidam com os eixos x , y e z de um sistema de coordenadas da seguinte forma:

Queremos calcular, usando vetores, o ângulo entre a aresta ao longo do eixo z (linha A B ) e a diagonal da origem até o vértice oposto (linha A D ).

Em outras palavras, o enunciado nos pede o ângulo entre a linha ( A B ) que vamos chamar de vetor A → , que é a aresta em z , e a linha ( A D ), que está definida em todas as dimensões positivas.

Pra resolver essa questão vamos considerar que todas as arestas têm módulo igual a 1 .

Então vamos resolver! 😉

Passo 2

Sabemos que o módulo A é igual a 1. Agora precisamos achar o módulo B .

Assim, pelos vetores unitários, temos:

B = i ^ 2 + j ^ 2 + k ^ 2 ∴

B = 1 2 + 1 2 + 1 2 ∴

B = 3

Passo 3

Agora é usamos a equação 1.21 pra saber o produto escalar entre A → e B → .

Essa equação é a seguinte:

A → ⋅ B → =   A x B x + A y B y + A z B z

Aplicando os valores, temos:

A → ⋅ B → = 0 + 0 + 1 ∴

A → ⋅ B → = 1

Passo 4

Da equação 1.18, temos:

A → ⋅ B → = A B c o s φ

Substituindo os valores:

1 = 1 3 c o s φ ∴

c o s φ = 1 1 3

E é só tirarmos o arco-cosseno que descobrimos o ângulo:

arccos ⁡ 1 1 3 = 54,7 °

E o encontramos! 😉

Resposta

54,7 °

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