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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 37.Problemas - Ex. 69

Viagem espacial? Uma viagem à estrelas requer centenas ou milhares de anos, mesmo à velocidade da luz. Algumas pessoas sugerem que podemos contornar essa dificuldade acelerando a espaçonave (seus astronautas) a velocidades muita altas de modo que eles envelheçam menos devido à dilatação do tempo. O problema é que é preciso uma quantidade muito grande de energia para fazer isso. Suponha que você queira ir até Betelgeuse, gigante vermelha, que fica a cerca de 500 anos-luz e distância. (Um ano-luz é a distância que a luz percorre em um ano). Você planeja viajar a uma velocidade constante em uma espaçonave de 1000   k g – na realidade, pequena demais para esse propósito. Em cada um dos casos que se seguem calcule o tempo da viagem, em relação às pessoas na Terra e aos astronautas na espaçonave, a energia necessária em joule e a energia necessária como uma porcentagem do consumo anual de energia dos Estados Unidos ( 1,0 x 10 19   J ). Para comparar, disponha os seu resultados em uma tabela mostrando v; v e s p a ç o n a v e , I T e r r a , I e s p a ç o n a v e . E (em J) e E (como % do consumo dos EUA). A velocidade da espaçonave é

  1. 0,50c
  2. 0,99c
  3. 0,9999c

Com base nos seus resultados, parece provável que o governo vá investir em uma viagem espacial a alta velocidade em um futuro próximo?

Passo 1

  1. Dados:

    d = 500   a n o s - l u z = 4,73   x   10 18   m

    u = 0,5 c = 0,5 3   x   10 8 = 1,5   x   10 8   m / s

    Substituindo na equação da velocidade, temos.

    u = d ∆ t

    ∆ t = d u = 4,73   x   10 18 1,5   x   10 8 = 3,2   x   10 10   s

    O tempo de viagem medido pelos astronauta é

    ∆ t 0 = ∆ t 1 - u ² / c ² = 866   y r

    A energia cinética (K) será

    k = m c 2 1 - v 2 / c 2 - m c 2

    k = 1000 3 x 10 8 1 1 - ( 0,500 ) ² = 1,4 x 10 19   J

    Esta energia representa 140% do uso anual de energianos EUA.

    Passo 2

  2. Dados:

d = 500   a n o s - l u z = 4,73   x   10 18   m

u = 0,99 c = 0,99 3   x   10 8 = 2,97   x   10 8   m / s

Substituindo na equação da velocidade, temos.

u = d ∆ t

∆ t = d u = 4,73   x   10 18 2,97   x   10 8 = 1,6   x   10 10   s

O tempo de viagem medido pelos astronauta é

∆ t 0 = ∆ t 1 - u ² / c ² = 71   y r

A energia cinética (K) será

k = m c 2 1 - v 2 / c 2 - m c 2

k = 1000 3 x 10 8 1 1 - ( 0,99 ) ² = 5,5   x   10 20   J

Esta energia representa 55 vezes o uso anual dos EUA.

Passo 2

  1. Dados:

d = 500   a n o s - l u z = 4,73   x   10 18   m

u = 0,9 999 c = 0,9 999 3   x   10 8 = 3,0   x   10 8   m / s

Substituindo na equação da velocidade, temos.

u = d ∆ t

∆ t = d u = 4,73   x   10 18 3   x   10 8 = 1,58   x   10 10   s

O tempo de viagem medido pelos astronauta é

∆ t 0 = ∆ t 1 - u ² / c ² = 50 1   y r

A energia cinética (K) será

k = m c 2 1 - v 2 / c 2 - m c 2

k = 1000 3 x 10 8 1 1 - ( 0,9 99 9 ) ² = 6,3   x   10 21   J

Esta energia representa 630 vezes o uso anual dos EUA.

Resposta

  1. 140% o uso anual dos EUA
  2. 55 vezes do uso anual do EUA
  3. 630 vezes do uso anual do EUA
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