Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 14º - Capítulo 22.Exercícios - Ex. 24
. A carga está distribuída uniformemente ao longo de todo o volume de uma esfera isolante de raio . A uma distância de do centro da esfera, o campo elétrico produzido pela distribuição de carga possui módulo . Determine a densidade volumétrica de carga da esfera e o campo elétrico, a uma distância de do centro da esfera.
Passo 1
Vamos juntos detonar essa questão!
A densidade volumétrica de carga é a quantidade de carga por volume, logo:
Onde o volume nesse caso é o volume da esfera de raio . O enunciado nos fornece o campo elétrico a uma distância de do centro da esfera. O campo elétrico de uma esfera é dado por:
Então podemos encontrar o valor de a partir dessa equação.
Para achar o campo a uma distância de do centro da esfera, que acaba sendo dentro da esfera, podemos usar a lei de Gauss ao nosso favor, temos que:
Então traçando uma superfície gaussiana esférica de raio podemos usar essa lei, onde é a área dessa superfície e é a carga interna da essa superfície.
Para achar essa carga vamos usar a mesma relação anterior:
Onde agora é o volume da superfície gaussiana que imaginamos.
Vamos as contas!
Passo 2
Começando com o item .
Temos o seguinte:
Substituindo os valores que conhecemos, ficamos com:
Passo 3
Agora podemos calcular a densidade volumétrica, temos:
Substituindo com os valores que conhecemos, temos:
Logo temos que:
Passo 4
Agora vamos para o item .
Pela lei de Gauss temos o seguinte:
Substituindo com os valores que conhecemos, temos:
Então temos que:
Com isso finalizamos essa linda questão!