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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 14º - Capítulo 22.Exercícios - Ex. 61

61 . Uma distribuição de cargas, de raio R = 6,00   m m , possui densidade volumétrica de carga ρ não uniforme. A Figura P 22.61 mostra ρ em função da distância r do centro da distribuição de cargas. Calcule o campo elétrico para os seguintes valores de r : ( i )   1,00   m m ; ( i i )   3,00   m m ; ( i i i )   5,00   m m ; ( i v )   7,00   m m .

Passo 1

Vem comigo que a gente detona com essa questão!

Para calcularmos o campo elétrico em cada caso que o enunciado pede, vamos usar a lei de Gauss ao nosso favor, dada de forma simples por:

E A = q i ϵ 0

Onde A é a superfície esférica gaussiana com raio r que cada caso quer e q i é a carga interna dessa superfície.

Podemos escrever a carga q i da seguinte maneira:

q i = ρ V

Então temos que:

E ( 4 π r 2 ) = q i ϵ 0

E = 1 4 π ϵ 0 q i r 2

Vamos então aos cálculos!

Passo 2

Começando com o ( i ) , onde temos r = 1 × 10 - 3   m .

Até essa distância a densidade de carga é 10 × 10 - 6   C / m 3 , então a carga q i é dada por:

q i = ( 10 × 10 - 6 ) 4 3 π 1 × 10 - 3 3

⇒ q i = 4,19 × 10 - 14   C

Então o campo elétrico é dado por:

E = 1 4 π ( 8,854 × 10 - 12 ) 4,19 × 10 - 14 ( 1 × 10 - 3 ) 2

⇒ E = 376,6   N / C

Passo 3

Agora para o caso ( i i ) , onde temos r = 3 × 10 - 3   m .

A densidade de carga é 10 × 10 - 6   C / m 3 até r = 2 × 10 - 3   m e depois vale 4 × 10 - 6   C / m 3 até r = 3 × 10 - 3   m .

Isso indica que termos uma carga até r = 2 × 10 - 3   m e outra carga até r = 3 × 10 - 3   m , então:

q i = 10 × 10 - 6 4 3 π 2 × 10 - 3 3 + ( 4 × 10 - 6 ) 4 3 π ( 3 × 10 - 3 3 - 2 × 10 - 3 3 )

= 33,51 × 10 - 14 + 31,8 × 10 - 14

Então temos que:

q i = 6,53 × 10 - 13   C

Então o campo elétrico é dado por:

E = 1 4 π ( 8,854 × 10 - 12 ) 6,53 × 10 - 13 ( 3 × 10 - 3 ) 2

⇒ E = 652,1   N / C

Passo 4

Agora para o caso ( i i i ) , onde temos r = 5 × 10 - 3   m .

A densidade de carga é 10 × 10 - 6   C / m 3 até r = 2 × 10 - 3   m , depois 4 × 10 - 6   C / m 3 até r = 4 × 10 - 3   m e depois vale - 2 × 10 - 6   C / m 3 até 5 × 10 - 3   m .

Isso indica que termos uma carga até r = 2 × 10 - 3   m , outra carga até r = 4 × 10 - 3   m e outra até r = 5 × 10 - 3   m , então:

q i = 10 × 10 - 6 4 3 π 2 × 10 - 3 3 + 4 × 10 - 6 4 3 π 4 × 10 - 3 3 - 2 × 10 - 3 3 +

+ - 2 × 10 - 6 4 3 π 5 × 10 - 3 3 - 4 × 10 - 3 3

= 33,51 × 10 - 14 + 93 , 8 2 × 10 - 14 - 51,1 × 10 - 14

Então temos que:

q i = 7,62 × 10 - 13   C

Então o campo elétrico é dado por:

E = 1 4 π ( 8,854 × 10 - 12 ) 7,62 × 10 - 13 ( 5 × 10 - 3 ) 2

⇒ E = 273,9   N / C

Passo 5

Agora para o caso ( i v ) , onde temos r = 7 × 10 - 3   m .

A densidade de carga é 10 × 10 - 6   C / m 3 até r = 2 × 10 - 3   m , depois 4 × 10 - 6   C / m 3 até r = 4 × 10 - 3   m , depois - 2 × 10 - 6   C / m 3 até 6 × 10 - 3   m e depois vale zero até 7 × 10 - 3   m .

Isso indica que termos uma carga até r = 2 × 10 - 3   m , outra carga até r = 4 × 10 - 3   m e outra até r = 6 × 10 - 3   m , então:

q i = 10 × 10 - 6 4 3 π 2 × 10 - 3 3 + 4 × 10 - 6 4 3 π 4 × 10 - 3 3 - 2 × 10 - 3 3 +

+ - 2 × 10 - 6 4 3 π 6 × 10 - 3 3 - 4 × 10 - 3 3

= 33,51 × 10 - 14 + 93,82 × 10 - 14 - 127,33 × 10 - 14

Então temos que:

q i = 0

Então o campo elétrico é dado por:

E = 1 4 π ( 8,854 × 10 - 12 ) 0 ( 5 × 10 - 3 ) 2

⇒ E = 0

Então finalmente terminamos essa questão!

Resposta

( i )

E = 376,6   N / C

( i i )

E = 652,1   N / C

( i i i )

E = 273,9   N / C

i v

E = 0

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