Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 14º - Capítulo 22.Exercícios - Ex. 49
Uma esfera oca isolante possui raio interno e raio externo . No interior do material isolante, a densidade volumétrica de carga é dada por , em que é uma constante positiva. Em função de e , qual é o módulo do campo elétrico a uma distância do centro da esfera, em que ? Uma carga pontual é colocada no centro do espaço oco, em . Em função de e , qual deve ser o valor de (sinal e módulo) para que o campo elétrico seja constante na região de e, então, qual é o valor do campo constante nessa região?
Passo 1
Vem comigo que a gente resolve essa juntos!
Para encontrar o campo dentro da região podemos usar a lei de Gauss, onde temos basicamente:
Mas para usar essa lei precisamos saber a quantidade de carga interna na superfície gaussiana de raio . Como o enunciado nos deu a densidade de carga, podemos fazer o seguinte:
E a partir disso podemos encontrar o campo em .
Para achar o valor da carga para que o campo total seja constante na região , nós temos que avaliar o campo total, que nesse caso vai ser o campo gerado pela carga pontual mais o campo na região .
Vamos nessa então!
Passo 2
Começando com o item .
Vamos primeiro encontrar a carga dentro da superfície de raio , temos o seguinte:
Onde essa integral vai de até e como estamos lidando com uma esfera simétrica temos que o elemento de volume é dado por , assim:
Assim temos que:
Passo 3
Agora vamos atrás do campo elétrico, temos:
Onde é a área superfície esférica de raio , assim:
Passo 4
Agora vamos para o item .
O campo elétrico de uma carga pontual é dado por:
Então o campo elétrico total na região é dado por:
Olhando essa equação, para que seja constante, ele não pode depender da posição , logo:
Então esse deve ser o valor da carga pontual para que o campo total seja constante.