Enunciado
Física - Física para Cientistas e Engenheiros - Mecânica, Oscilações e Ondas, Termodinâmica: Volume 1 - 6ª Edição - Mosca, Tripler- Ed: 6º - Capítulo R.1 - Ex. 28
28. A vida média própria de um múon (Veja os problemas e para detalhes sobre os múons) é de . Considere um múon criado na atmosfera superior da Terra, descendo para a superfície, abaixo, a .
(a) Qual a probabilidade de que o múon sobreviva a viagem até a Terra antes de cair? A probabilidade de decaimento de um múon é de , onde é o intervalo de tempo medido no referencial em questão.
(b) Calcule a probabilidade do ponto de vista de um observador que se move com o múon. Mostre que a resposta é a mesma do que a do ponto de vista de um observador na Terra.
Passo 1
(a) Se a probabilidade do múon decair é dada por , então a probabilidade dele não decair é:
Queremos o intervalo de tempo que o múon levaria para cair até a superfície! Por isso vamos, agora, usar a fórmula do “Sorvete” para expressar o intervalo de tempo como a razão do espaço pela velocidade:
Temos a variação do espaço , igual a e a velocidade do múon, igual a . Substituímos na equação acima para encontrar nosso intervalo de tempo:
Agora, o que precisamos fazer é encontrar o tempo de vida útil média do múon , através da fórmula da dilatação do tempo:
Substituindo os valores numéricos adequados, chega-se a:
Por fim, voltemos a fórmula da probabilidade de que o múon sobreviva a queda, para substituir o e o que encontramos:
Passo 2
(b) Nesse item, o que temos que fazer é encontrar o tempo, como uma razão do espaço percorrido , pela velocidade do múon . Mas atenção, porque como estamos considerando o sistema observador-múon como nosso referencial, é como se a Terra estivesse se movendo em direção até ele. Logo, o comprimento , diferentemente da letra (a), vai ser reduzido, sendo expresso pela fórmula da contração do comprimento, por:
Como o intervalo de tempo é dado por:
Então, chegamos a:
Só resta, finalmente, substituir os valores numéricos adequados:
Como o sistema observador-múon agora é o centro de nosso referencial, então o tempo de vida útil médio é dado por . Vamos encontrar nossa probabilidade:
Ia lá! Não é que encontramos o mesmo resultado da letra (a). Logo, as probabilidade são semelhantes.
Resposta
a) ou .
b) ou .