Função de onda dependente do tempo para uma partícula livre. Um exemplo de função de onda dependente do tempo é o de uma partícula livre [em que para qualquer ] de energia e componente do momento linear . De acordo com as relações de De Broglie (ver seção 39.1), tal partícula está associada a uma frequência e um comprimento de onda . Uma primeira hipótese razoável para a função de onda dependente do tempo para tal partícula é , onde é a constante, é a frequência angular, e é o número de onda. Essa é a mesma função que usamos para descrever uma onda mecânica [ver Equação (15.7)] ou uma onda eletromagnética propagando-se no sentido [ver Equação (32.16)]. (a) Mostre que , e . (Sugestão: a energia é puramente cinética, de modo que ). (b) Para verificar essa hipótese para a função de onda dependente do tempo, substitua na equação de Schrödinger dependente do tempo (ver problema 39.63) com (desse modo, a partícula é livre. Mostre que essa hipótese para não satisfaz a essa equação e, assim, não é uma função de onda adequada para uma partícula livre. (c) Use o procedimento descrito na parte (b) para mostrar que uma hipótese, , também não é uma função de onda adequada para uma partícula livre. (d) Considere uma combinação das funções propostas nas partes (b) e (c) :

Usando o procedimento descrito na parte (b), mostre que essa função de onda é uma solução para a equação de Schrödinger dependente do tempo com , mas apenas se . (Sugestão: Para satisfazer a equação de Schrödinger dependente do tempo para qualquer e , os coeficientes de em ambos os lados da equação). Este é um exemplo que mostra que as funções de onda dependentes do tempo sempre apresentam uma parte real e uma parte imaginária.

O número de ondas é dada em função do comprimento de onda, a partir da relação:

Usando a relação de De Broglie:

Agora que já sabemos a relação entre a energia e a frequência angular, podemos relacionar com o momento linear, considerando que .

Substituindo o momento linear, temos que:

letra b)

A equação de Schrödinger dependente do tempo para o potencial nulo é:

Como a função de onda dada é , iremos verificar se é solução.

Vemos que os termos são diferentes, logo a função de onda dada não é solução.

letra c)

Vamos testar agora a função .

A função de onda dada também não é solução.

letra d)

Vamos testar agora a função .

Como vimos no item anterior , então temos:

Então para a função dada ser solução, precisamos que:

ou: