Enunciado

Função de onda dependente do tempo para uma partícula livre. Um exemplo de função de onda dependente do tempo é o de uma partícula livre [em que U x = 0 para qualquer x ] de energia E e componente x do momento linear p . De acordo com as relações de De Broglie (ver seção 39.1), tal partícula está associada a uma frequência f = E / h e um comprimento de onda λ = h / p . Uma primeira hipótese razoável para a função de onda dependente do tempo para tal partícula é ψ ( x , t ) = A c o s ( k x - ω t ) , onde A é a constante, ω = 2 π f é a frequência angular, e k = 2 π / λ é o número de onda. Essa é a mesma função que usamos para descrever uma onda mecânica [ver Equação (15.7)] ou uma onda eletromagnética propagando-se no sentido x [ver Equação (32.16)]. (a) Mostre que ω = E h , k = p / h e ω = h k 2 / 2 m . (Sugestão: a energia é puramente cinética, de modo que E = p 2 / 2 m ). (b) Para verificar essa hipótese para a função de onda dependente do tempo, substitua ψ ( x , t ) = A c o s ( k x - ω t ) na equação de Schrödinger dependente do tempo (ver problema 39.63) com U ( x ) = 0 (desse modo, a partícula é livre. Mostre que essa hipótese para ψ ( x , t ) não satisfaz a essa equação e, assim, não é uma função de onda adequada para uma partícula livre. (c) Use o procedimento descrito na parte (b) para mostrar que uma hipótese, ψ ( x , t ) = A s e n ( k x - ω t ) , também não é uma função de onda adequada para uma partícula livre. (d) Considere uma combinação das funções propostas nas partes (b) e (c) :

ψ ( x , t ) = A c o s ( k x - ω t ) + B s e n ( k x - ω t )

Usando o procedimento descrito na parte (b), mostre que essa função de onda é uma solução para a equação de Schrödinger dependente do tempo com U ( x ) = 0 , mas apenas se B = i A . (Sugestão: Para satisfazer a equação de Schrödinger dependente do tempo para qualquer x e t , os coeficientes de s e n ( k x - ω t ) em ambos os lados da equação). Este é um exemplo que mostra que as funções de onda dependentes do tempo sempre apresentam uma parte real e uma parte imaginária.

Passo 1

letra a)

Sabemos pela energia a energia de um fóton que:

E = h f

E como podemos relacionar a frequência com a frequÊncia angular, temos que:

E = h ω 2 π

Passo 2

O número de ondas é dada em função do comprimento de onda, a partir da relação:

k = 2 π λ

Usando a relação de De Broglie:

k = 2 π p h

Passo 3

Agora que já sabemos a relação entre a energia e a frequência angular, podemos relacionar ω com o momento linear, considerando que E = p 2 / 2 m .

p 2 2 m = h ω 2 π

Substituindo o momento linear, temos que:

h k 2 π 2 2 m = h ω 2 π

ω = h 2 π k 2 2 m

Passo 4

letra b)

A equação de Schrödinger dependente do tempo para o potencial nulo é:

- h / 2 π 2 2 m ∂ 2 Ψ ( x , t ) ∂ x 2 = i h 2 π ∂ Ψ ( x , t ) ∂ t

Como a função de onda dada é Ψ ( x , t ) = A   c o s k x - ω t , iremos verificar se é solução.

- h / 2 π 2 2 m ∂ 2 A   c o s k x - ω t ∂ x 2 = i h 2 π ∂ A   c o s k x - ω t ∂ t

- h / 2 π 2 2 m ∂ ∂ x - A k   s e n k x - ω t = i h 2 π A ω   s e n k x - ω t

- h / 2 π 2 2 m - A k 2   c o s k x - ω t = i h 2 π A ω   s e n k x - ω t

Vemos que os termos são diferentes, logo a função de onda dada não é solução.

Passo 5

letra c)

Vamos testar agora a função Ψ ( x , t ) = A   s e n k x - ω t .

- h / 2 π 2 2 m ∂ 2 A   s e n k x - ω t ∂ x 2 = i h 2 π ∂ A   s e n k x - ω t ∂ t

- h / 2 π 2 2 m ∂ ∂ x A k   c o s k x - ω t = i h 2 π - A ω   c o s k x - ω t

- h / 2 π 2 2 m - A k 2   s e n k x - ω t = i h 2 π - A ω   c o s k x - ω t

A função de onda dada também não é solução.

Passo 6

letra d)

Vamos testar agora a função Ψ ( x , t ) = A   c o s k x - ω t + B   s e n k x - ω t .

- h / 2 π 2 2 m ∂ 2 A   c o s k x - ω t + B   s e n k x - ω t ∂ x 2 = i h 2 π ∂ A   c o s k x - ω t + B   s e n k x - ω t ∂ t

- h / 2 π 2 2 m ∂ ∂ x - A k   s e n k x - ω t + B k   c o s k x - ω t = i h 2 π A ω   s e n k x - ω t - B ω   c o s k x - ω t

- h / 2 π 2 2 m - A k 2   c o s k x - ω t - B k 2   s e n k x - ω t = i h 2 π A ω   s e n k x - ω t - B ω   c o s k x - ω t

- 1 2 m h 2 π - A k 2   c o s k x - ω t - B k 2   s e n k x - ω t = i A ω   s e n k x - ω t - B ω   c o s k x - ω t

Passo 7

Como vimos no item anterior ω = h 2 π k 2 2 m , então temos:

- - A ω   c o s k x - ω t - B ω   s e n k x - ω t = i A ω   s e n k x - ω t - B ω   c o s k x - ω t

A ω   c o s k x - ω t + B ω   s e n k x - ω t = i A ω   s e n k x - ω t - B ω   c o s k x - ω t

Então para a função dada ser solução, precisamos que:

B = i A

ou:

A = - i B

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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