Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 14º - Capítulo 30.Exercícios - Ex. 48
Considere o circuito na Figura , com as duas chaves abertas. Em , a chave é fechada enquanto é mantida aberta. Use a Equação para derivar uma equação
para a taxa na qual a energia elétrica está sendo consumida no resistor. Em termos de , e , em que valor de a taxa é máxima? Qual é esse valor máximo? Use as equações e para deduzir uma equação para , a taxa na qual a energia está sendo armazenada no indutor. Qual é o valor de em e quando ? Em termos de e , em que valor de a taxa é máxima? Qual é esse valor máximo? Obtenha uma expressão para , a taxa na qual a bateria está fornecendo energia elétrica ao circuito. Em termos de e , em que valor de a taxa é máxima? Qual é esse valor máximo?
Passo 1
Vem comigo que a gente detona essa juntos!
Quando a chave fecha, temos um circuito em mãos, a equação fornece o comportamento da corrente desse circuito em função do tempo, ela dada por:
O item quer que encontremos que é a potência dissipada pelo resistor, que é dada por:
O item quer a taxa que é a potência armazenada no indutor e enunciado fala para usarmos a equação e que é dada por:
E vamos usar também que:
Onde:
O item quer que encontremos o valor de para e e para isso vamos usar o resultado de .
Agora o item quer que encontremos que faz ser máximo para isso vamos usar nossos conhecimentos de cálculo e vamos derivar em função de e igualar a zero e calcular que faz isso acontecer.
Para o item temos que achar , usando o fato de que:
E depois temos que fazer a mesma coisa que vamos fazer em para achar o instante em que é máximo e o valor dele nesse instante.
Mãos a obra!
Passo 2
Começando com o item .
Temos que a potência dissipada pelo resistor é dada por:
Usando a equação que temos para a corrente , ficamos com:
Assim temos que:
Esse cara vai ter seu valor máximo quando , pois assim as exponenciais vão a zero e temos que:
Passo 3
Vamos para o item .
A potência de energia armazenada no indutor é dada por:
Temos que:
No passo , vimos que:
Agora juntando tudo, temos:
Passo 4
Agora vamos para o item .
Temos que achar o valor de pra e , então vamos pegar a expressão que encontramos no item anterior e achar esses caras.
Começando com .
Então temos que:
Agora para , temos:
Assim temos que:
Passo 5
Agora vamos para o item .
Esse item temos que encontrar o valor de uqe faz máximo. Então vamos usar aquela jogada do cálculo que vimos no passo , temos:
Então para isso ser verdade temos que:
Aplicando nos dois lados, temos:
Agora temos que achar o valor de para esse , temos:
Então temos que:
Passo 6
Vamos para o item !!
Aqui temos que achar o valor de que faz ser máximo, temos que:
Usando a expressão que conhecemos, para , temos:
Olhando essa expressão podemos ver que ela só vai ser máxima quando:
Então:
Para que essa exponencial seja zero, temos que:
E assim o valor máximo de é dado por:
Questão finalizada com sucesso!
Resposta
Vai ser máximo para e igual a .
Vai ser máximo para e igual a .