Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 18.Problemas Desafiadores - Ex. 94
No exemplo 18.7 (Seção 18.3), vimos que era maior do que . Não é difícil mostrar que isso sempre ocorre. (A única exceção acontece quando todas as partículas possuem a mesma velocidade; nesse caso, .) a) Para duas partículas com velocidade e , mostre que independentemente do valores numéricos de e . A seguir, mostre que quando . b) Suponha que, em uma coleção de partículas, você saiba que . Outra partícula com velocidade é adicionada à coleção de partículas. Se a nova velocidade quadrática média for designada por e designar a nova velocidade média, mostre que:
e
c) Use as expressões da parte (b) para provar que é sempre maior que , independente do valor numérico de . d) Explique por que os resultados dos itens (a) e (c) juntos demonstram que é sempre maior que , em qualquer conjunto de partículas, quando elas não possuem todas a mesma velocidade.
Passo 1
Para partículas:
e
Passo 2
- Assim,
- E
- A álgebra é semelhante à da parte (a); ajuda um pouco para expressar
- O resultado foi mostrado para e foi mostrado que a validade para N implica validade para ; por indução, o resultado é verdadeiro para todos os N.
E
E
Isso mostra que , com igualdade mantendo se e somente se as partículas tiverem as mesmas velocidades.
Passo 3
E e os formulários fornecidos seguem imediatamente.
Passo 4
Então,
Se , então essa diferença é necessariamente positiva e .
Passo 5
pois dá mais peso às partículas que têm maior velocidade.
Resposta
- Isso mostra que , com igualdade mantendo se e somente se as partículas tiverem as mesmas velocidades.
- Mostrados no passo 3.
- Se , então essa diferença é necessariamente positiva e .
- resultado é verdadeiro para todos os N.