Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 30.Problemas - Ex. 50
50. Um solenoide toroidal com um raio médio e uma área de seção reta está uniformemente enrolado com um número de espiras igual a . Um segundo solenoide com um número de espiras igual a é colocado no centro do primeiro solenoide. Ambos são enrolados no mesmo sentido. Deduza uma expressão para a indutância quando somente a primeira bobina é usada; e uma expressão quando somente a segunda bobina é usada. Mostre que .
Passo 1
Da forma mais simples a indutância (ou auto-indutância) pode ser encontrada através da seguinte expressão:
Onde é o número de espiras e é o fluxo do campo magnético presente na situação. Esse fluxo pode ser dado por:
Onde é o campo magnético e é a área por onde esse campo passa.
Para o nosso caso como é um solenoide o campo acontece no interior desse solenoide passando por sua área de seção reta como foi dito pelo enunciado.
O campo desse solenoide pode ser dado pela seguinte expressão:
No caso teremos um campo para cada solenoide já que eles têm número de espiras diferentes.
Para mostrar o que é pedido no item , vamos usar a seguinte equação para a indutância mútua , que acontece quando as duas bobinas estão sendo usadas.
Mas se você imaginar a configuração descrita no enunciado e considerando que queremos a indutância mútua (os dois solenoides estão sendo usados ao mesmo tempo), o fluxo no solenoide interno, pode ser dado pelo campo , assim:
Passo 2
Primeiro vamos encontrar , temos o seguinte:
O fluxo para esse caso é dado por:
Então a indutância é dada por:
Passo 3
Para o processo é exatamente igual que a do a única coisa que muda são os subscritos e , olha só como é igual, temos:
O fluxo para esse caso é dado por:
Então a indutância é dada por:
Eu falei que era exatamente igual kkk.
Passo 4
Agora vamos mostrar que a indutância mútua é iguala ao o que é falado no enunciado, temos:
Substituindo o campo , temos:
Botando de uma forma mais ajeitadinha, temos:
Agora vamos elevar ao quadrado os dois lados, já que temos que fazer aparecer um , assim:
O segundo termo pode ser escrito da seguinte maneira:
Lembrando os resultados que encontramos nos passos e , temos: