50. Desejamos suspender um aro fino usando um prego e fazer o aro executar uma oscilação completa com um ângulo pequeno a cada . Qual deve ser o valor do raio do aro?

Como o enunciado nos forneceu o período de oscilação e temos pequenas oscilações, podemos usar a fórmula do período para pequenas oscilações de um pêndulo físico, que é:

Nesse problema, vamos considerar que o centro de massa do aro como se fosse a bolinha do nosso pêndulo, então a distância do ponto que está preso até ele é igual ao raio, assim:

Temos que agora, resolver um problema, que é descobrir o momento de inércia, já que o momento de inércia que conhecemos para um aro é em relação a um eixo que passa pelo centro de massa e perpendicular ao aro.

Para achar esse cara, vamos utilizar o teorema dos eixos paralelos, que diz que o momento de inércia em relação a um eixo que não passa pelo centro de massa e é paralelo a um eixo no qual conheçamos o momento de inércia em relação a ele, é a soma do momento de inercia conhecido com o produto da massa do corpo que estamos analisando vezes a distância entre os eixos ao quadrado, em linguagem matemática, temos:

Só que no nosso caso a distância entre os eixos é igual ao raio já que o centro de massa se encontra no centro do aro, assim:

O momento de inercia conhecido, que é em relação ao eixo que passa pelo centro de massa, de um aro é:

Assim temos que: