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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 31.Problemas - Ex. 50

50 - Um filtro passa-baixos. A Figura 31.27 mostra um filtro passa-baixos (veja o Problema 31.49); a tensão de saída é tomada através do capacitor do circuito R-L-C em série. Deduza uma expressão para V s a í d a / V s , a razão entre a amplitude da tensão na saída e a amplitude da tensão da fonte, em função da frequência angular ω da fonte. Mostre que, quando ω é grande, essa razão é proporcional a ω - 2 , portanto, muito pequena, e mostre que ela tende a 1 no limite de frequências pequenas.

Passo 1

Antes de qualquer coisa, perceba que podemos encontrar a corrente total que o sistema está exigindo da fonte pela fórmula...

I = V s R 2 + ω L - 1 ω C 2

A tensão de saída então é dada pela impedância vezes a corrente:

V s a í d a = Z s a í d a I  

Poxa, a impedância de saída é formada por um capacitor somente, então a impedância de saída pode ser dada assim:

Z s a í d a = - 1 ω C 2 = 1 ω C

Logo, podemos então falar que a tensão de saída é...

V s a í d a = Z s a í d a I       →

V s a í d a = 1 ω C ⋅ V s R 2 + ω L - 1 ω C 2   →

Passando o V s pro outro lado...

V s a í d a V s = 1 ω C R 2 + ω L - 1 ω C 2

Passo 2

Então agora vejamos o que acontece com a relação à medida que ω vai diminuído a 0 :

V s a í d a V s = 1 ω C R 2 + ω L - 1 ω C 2       →

Perceba que no denominador, o ω L desaparece por se aproximar de 0 ...

V s a í d a V s = 1 ω C R 2 + 1 ω 2 C     →

Agora perceba que à medida que ômega vai a 0 , 1 ω C vai para o infinito, tornando R 2 cada vez mais indiferente, então a gente pode elimina-lo do denominador...

V s a í d a V s = 1 ω C 1 ω 2 C =

1 ω C ω C =

1

Passo 3

Vamos fazer a mesma análise de limite só que agora vendo o que acontece considerando ω → ∞ :

V s a í d a V s = 1 ω C R 2 + ω L - 1 ω C 2       →

Bem quando ω vaia para ∞ a fração vai a 0 :

V s a í d a V s = 1 ω C R 2 + ω L 2       →

Novamente, considerando ω grande o suficiente para desconsiderar R 2 dentro da raiz...

V s a í d a V s = 1 ω C ω 2 L 2       →

V s a í d a V s = 1 ω 2 C L  

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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