Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 12º - Capítulo 30.Problemas - Ex. 58
58. Um circuito é constituído por um indutor de e um capacitor de . A carga inicial do capacitor é igual a e a corrente inicial do indutor é igual a zero. Qual é a voltagem máxima através do capacitor? Qual é corrente máxima no indutor? Qual é a energia máxima acumulada no indutor? Quando a corrente no indutor atinge a metade de seu valor máximo, qual é a carga no capacitor e qual é a energia acumulada no indutor?
Passo 1
Em um circuito desse tipo a energia sempre se conserva, mas hora ela está totalmente armazenada no campo elétrico do capacitor ou toda no campo magnético do indutor, e fica trocando de um para o outro infinitamente.
Uma coisa a se observar é que o valor da indutância só é , quando temos a corrente máxima.
A voltagem do capacitor pode ser encontrada através da fórmula da definição de capacitância, que é:
Basta isolar a voltagem e substituir os valores que , e , onde é a carga máxima do capacitor já que o enunciado fala que essa é carga inicial, com isso encontramos a voltagem máxima.
Como foi dito mais acima a energia nesse circuito sempre se conserva então a energia máxima acumulada no capacitor é iguala energia máxima que campo ser acumulada no campo do indutor, então:
Mas por que estou falando disso? Então, o indutor só alcança a energia máxima quando a corrente é máxima, já que:
Sabendo que:
Assim, temos que:
Onde é a carga máxima do capacitor que é dada no enunciado.
Com isso basta isolar e substituir os valores que conhecemos para calculá-lo.
Bem, agora para achar a energia máxima no indutor vamos precisamos da corrente máxima que iremos encontrar, já que a energia do indutor só é máxima quando a corrente é máxima, assim:
Vamos analisar o caso do item , temos que a corrente vai ser metade da corrente máxima, então:
Sabemos que é iguala anergia máxima do circuito, então , se substituirmos a corrente que temos ali encima na fórmula da energia do indutor, achamos:
Então se a energia no indutor representa da energia máxima os outros são de energia no capacitor, logo:
Que pode ser escrito da seguinte maneira:
Onde é a carga para .
Passo 2
Vamos então encontrar a voltagem máxima pedida no item , temos:
Substituindo o que sabemos temos:
Então temos que:
Passo 3
Agora vamos encontrar a corrente máxima pedida no item , onde vamos usar a relação que encontramos no passo , assim:
Isolando , temos que:
Substituindo os valores que conhecemos, temos;
Então temos que:
Passo 4
Agora que temos a corrente máxima podemos achar a energia máxima armazenada no indutor que é pedido no item , então:
Substituindo com o que temos, ficamos com:
Então temos que:
Passo 5
Agora vamos encontrar a carga no capacitor pedida no item quando temos metade da corrente, então:
Isolando , temos:
Substituindo o valor de , temos:
Então: