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Enunciado

Química - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 42.Problemas - Ex. 51

51. O lítio metálico tem uma estrutura cristalina bcc. Cada unidade é um cubo de comprimento a = 0,35   n m . a ) Em uma rede bcc, qual é o número de átomos por unidade de volume? Forneça a resposta em termos de a . (Sugestão: quantos átomos existem por unidade?) b ) Use o resultado da parte ( a ) para calcular a energia de Fermi E F 0 do lítio metálico à temperatura zero. Suponha que haja um elétron livre por átomo.

Passo 1

Podemos ver como é uma rede bbc na figura 42.12 c .

Vamos seguir a sugestão do enunciado e calcular quantos átomos temos por unidade de célula, para aí calcularmos o número de átomos por volume.

Para o item ( b ) para calcular a energia de Fermi através da seguinte equação:

E F 0 = 3 2 / 3 π 4 / 3 ℏ 2 2 m N V 2 / 3

Passo 2

Vamos lá então galera vamos resolver o item ( a ) , temos:

Temos que cada célula unitária possui um átomo no centro e 8 átomos nos cantos, como pode ser visto na figura 42.12 , que são compartilhados por outras 8 células unitárias. Portanto, temos que existem

1 + 8 8 = 2

átomos por célula unitária.

Então se temos 2 átomos por célula unitária temos que o número de átomos por volume é:

n V = 2 0,35 ⋅ 10 - 9 3

= 4,66 ⋅ 10 28   á t o m o s / m 3

Passo 3

Agora vamos calcular a energia pedida em ( b ) , temos que:

E F 0 = 3 2 / 3 π 4 / 3 ℏ 2 2 m N V 2 / 3

Nesta equação, N / V é o número de elétrons livres por m 3 . Mas o problema diz assumir um elétron livre por átomo, como temos 4,66 ⋅ 10 28   á t o m o s / m 3 , segundo o item ( a ) , então também teremos 4,66 ⋅ 10 28   e l é t r o n s / m 3 .

Lembrando que a massa do elétron é m = 9,109 ⋅ 10 - 31   k g , temos que:

E F 0 = 3 2 / 3 π 4 / 3 ( 1,054 ⋅ 10 - 34 ) 2 2 ( 9,109 ⋅ 10 - 31 ) ( 4,66 ⋅ 10 28 ) 2 / 3

= 10,63 ⋅ 10 - 68 18,22 ⋅ 10 - 31 ( 12,95 ⋅ 10 18 )

Então temos que:

E F 0 = 7,56 ⋅ 10 - 19   J

Resposta

( a )

4,66 ⋅ 10 28   á t o m o s / m 3

( b )

E F 0 = 7,56 ⋅ 10 - 19   J

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