51. Mostre por substituição direta na equação de Schrödinger para o oscilador harmônico em uma dimensão que a função de onda , onde , é uma solução com energia correspondente ao nível na Equação . Encontre a constante de normalização . Encontre os pontos clássicos de inversão e mostre, em contraste, que a densidade de probabilidade apresenta um máximo em .

Bem vamos então substituir na equação e brincar com ela, mas antes vamos calcular as derivadas que aparecem na equação separadamente para não embolar.

Vamos lá, temos:

Mas sabemos que , então:

Jogando isso na nossa equação ficamos com:

Podemos dividir tudo por , assim:

Antes de prosseguirmos na equação vamos nos ligar em alguns detalhes para simplificarmos melhor nossa equação.

A constante é a constante elástica, que pode ser escrita como:

E temos que e temos que a energia do oscilador no modo fundamental é dada por .

Colocando isso na nossa equação ficamos com:

Assim encontramos que:

Com isso provamos que é solução da equação.

Agora vamos encontrar a constante de normalização , para isso vamos fazer o seguinte:

Primeiro vamos calcular , temos:

Então ficamos com:

A integral que ficamos é uma gaussiana que tem o resultado bem definido, assim:

Então temos que:

Sabendo que

Assim nosso ponto de inversão clássico é dado por:

Agora vamos verificar se , vamos fazer o que comentei no passo , temos:

Se substituirmos , temos:

Agora vamos derivar essa expressão mais uma vez e verificar se ele é negativo, temos:

Fazendo , temos:

Logo temos que é ponto de máximo.