Enunciado

52 . Um próton e uma partícula alfa são liberados a partir do repouso quando estão separados por 0,225   n m de distância. A partícula alfa (um núcleo de hélio) tem, essencialmente, quatro vezes a massa e o dobro da carga de um próton. Encontre a velocidade escalar máxima e a aceleração máxima de cada uma dessas partículas. Quando ocorrem esses valores máximos:

imediatamente após o lançamento das partículas ou depois de muito tempo?

Passo 1

Vem comigo que a gente detona essa questão juntos!

Do enunciado podemos tira algumas informações, a massa da partícula α é quatro vezes maior que a do próton, logo m a = 4 m p , onde m p = 1,67 × 10 - 27   k g e que a carga da α é o dobro da do próton, logo q a = 2 q p , onde q p = 1,6 × 10 - 19   C .

Para encontrarmos a aceleração das partículas podemos usar a segunda lei de Newton ao nosso favor, já que:

F = m a

A força que atua nas partículas é a mesma, dada por:

F = 1 4 π ϵ 0 q Q r 2

Essa aceleração máxima ocorre logo após o lançamento das partículas já que a força cai por um fato de 1 / r 2 .

Agora para achar a velocidade máxima dessas partículas, vamos usar a conservação de momento e de energia ao nosso favor.

A conservação de energia é da seguinte forma:

K i + U i = K f + U f

Onde K i = 0 já que elas partem do repouso e U f = 0 , já que elas estão muito afastadas e a energia potencial caiu a zero, então:

U i = K f

Onde a energia potencial é a elétrica entre as partículas, assim:

K f = 1 4 π ϵ 0 q Q r

Então a partir disso podemos achar K f e usando que:

K f = 1 2 m a v a 2 + 1 2 m p v p 2

Podemos achar uma relação entre as velocidades a partir da conservação de momento, onde temos que o momento inicial é zero, assim:

0 = m p v p - m a v a

⇒ v a = m p m a v p

Agora podemos ir fazer as contas!

Passo 2

Vamos primeiro encontrar a aceleração máxima, temos:

m a = 1 4 π ϵ 0 q Q r 2

⇒ a = 1 4 π ϵ 0 m q Q r 2

Para o próton temos que:

a p = 1 4 π ϵ 0 m p q Q r 2

⇒ a p = 1 4 π ( 8,854 × 10 - 12 ) ( 1,67 × 10 - 27 ) ( 1,6 × 10 - 19 ) ( 2 ( 1,6 × 10 - 19 ) ) ( 0,225 × 10 - 9 ) 2

= 5,2 × 10 - 38 9,41 × 10 - 57

Então temos que:

a p = 5,5 × 10 18   m / s 2

Agora para a partícula α , temos:

a a = 1 4 π ϵ 0 m a q Q r 2

⇒ a a = 1 4 π ϵ 0 4 m a q Q r 2

Comparando essa equação da partícula α com a do próton a gente consegue ver que ela é 1 / 4 menor que a do próton, logo:

a a = 1,38 × 10 18   m / s 2

E como a gente viu no passo 1 essa aceleração é máxima logo após o lançamento.

Passo 3

Agora vamos atrás das velocidades, da conservação de energia, temos que:

K f = 1 4 π ϵ 0 q Q r

Substituindo os valores que conhecemos, temos:

K f = 1 4 π ( 8,854 × 10 - 12 ) ( 1,6 × 10 - 19 ) ( 2 ( 1,6 × 10 - 19 ) ) 0,225 × 10 - 9

= 5,2 × 10 - 38 2,5 × 10 - 20

Então temos que:

K f = 2,08 × 10 - 18   J

Passo 4

Agora que temos a energia cinética final do sistema, podemos encontrar as velocidades que queremos, temos que:

K f = 1 2 m a v a 2 + 1 2 m p v p 2

⇒ K f = 1 2 4 m p v a 2 + 1 2 m p v p 2

⇒ K f = 2 m p v a 2 + 1 2 m p v p 2

Usando a relação que chegamos no passo 1 entre v a e v p , ficamos com:

K f = 2 m p m p m a v p 2 + 1 2 m p v p 2

⇒ K f = 2 m p m p 4 m p v p 2 + 1 2 m p v p 2

⇒ K f = 1 8 m p v p 2 + 1 2 m p v p 2

Então temos que:

v p = 8 5 K f m p

Substituindo os valores que temos, ficamos com:

v p = 8 5 2,08 × 10 - 18 1,67 × 10 - 27

⇒ v p = 4,46 × 10 4   m / s

Passo 5

Agora usando a relação da conservação de momento, temos:

v a = m p m a v p

⇒ v a = m p 4 m p v p

⇒ v a = 1 4 v p

Substituindo o valor de v p , temos:

v a = 1 4 ( 4,46 × 10 4   )

⇒ v a = 1,11 × 10 4   m / s

Essas velocidades máximas ocorrem depois de um longo tempo, já que toda a energia potencial elétrica inicial foi transformada em energia cinética.

Resposta

a p = 5,5 × 10 18   m / s 2

a a = 1,38 × 10 18   m / s 2

Ocorrem logo após o lançamento.

v p = 4,46 × 10 4   m / s

v a = 1,11 × 10 4   m / s

Ocorrem depois de um longo tempo.

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