Enunciado
Física - Young and Freedman - Vol 3- Ed: 14º - Capítulo 23.Exercícios - Ex. 52
Um próton e uma partícula alfa são liberados a partir do repouso quando estão separados por de distância. A partícula alfa (um núcleo de hélio) tem, essencialmente, quatro vezes a massa e o dobro da carga de um próton. Encontre a velocidade escalar máxima e a aceleração máxima de cada uma dessas partículas. Quando ocorrem esses valores máximos:
imediatamente após o lançamento das partículas ou depois de muito tempo?
Passo 1
Vem comigo que a gente detona essa questão juntos!
Do enunciado podemos tira algumas informações, a massa da partícula é quatro vezes maior que a do próton, logo , onde e que a carga da é o dobro da do próton, logo , onde .
Para encontrarmos a aceleração das partículas podemos usar a segunda lei de Newton ao nosso favor, já que:
A força que atua nas partículas é a mesma, dada por:
Essa aceleração máxima ocorre logo após o lançamento das partículas já que a força cai por um fato de .
Agora para achar a velocidade máxima dessas partículas, vamos usar a conservação de momento e de energia ao nosso favor.
A conservação de energia é da seguinte forma:
Onde já que elas partem do repouso e , já que elas estão muito afastadas e a energia potencial caiu a zero, então:
Onde a energia potencial é a elétrica entre as partículas, assim:
Então a partir disso podemos achar e usando que:
Podemos achar uma relação entre as velocidades a partir da conservação de momento, onde temos que o momento inicial é zero, assim:
Agora podemos ir fazer as contas!
Passo 2
Vamos primeiro encontrar a aceleração máxima, temos:
Para o próton temos que:
Então temos que:
Agora para a partícula , temos:
Comparando essa equação da partícula com a do próton a gente consegue ver que ela é menor que a do próton, logo:
E como a gente viu no passo essa aceleração é máxima logo após o lançamento.
Passo 3
Agora vamos atrás das velocidades, da conservação de energia, temos que:
Substituindo os valores que conhecemos, temos:
Então temos que:
Passo 4
Agora que temos a energia cinética final do sistema, podemos encontrar as velocidades que queremos, temos que:
Usando a relação que chegamos no passo entre e , ficamos com:
Então temos que:
Substituindo os valores que temos, ficamos com:
Passo 5
Agora usando a relação da conservação de momento, temos:
Substituindo o valor de , temos:
Essas velocidades máximas ocorrem depois de um longo tempo, já que toda a energia potencial elétrica inicial foi transformada em energia cinética.
Resposta
Ocorrem logo após o lançamento.
Ocorrem depois de um longo tempo.