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Enunciado

Física - Young and Freedman - Vol 4- Ed: 12º - Capítulo 37.Problemas - Ex. 53

53. Dizemos que uma partícula é extremamente relativística quando sua energia cinética é muito maior do que sua energia de repouso. a ) Qual é a velocidade de uma partícula (expressa como uma fração de c ) para que sua energia total seja dez vezes maior do que sua energia de repouso? b ) Qual seria a diferença percentual entre o membro esquerdo e o membro direito da Equação ( 37.39 ) se o termo m c 2 2 fosse desprezado para a partícula cuja velocidade foi calculada no item ( a ) ?

Passo 1

Então pessoal, para o primeiro item queremos v para que a energia total seja 10 vezes maior que a energia de repouso.

A energia total de uma partícula é dada por:

E = γ m c 2

Onde

γ = 1 1 - v 2 / c 2

E a energia de repouso é dada por:

E 0 = m c 2

Então queremos que:

E = 10 E 0

Para o item ( b ) vamos usar a equação 37.39 , dada por:

E 2 = m c 2 2 + p c 2

Podemos encontrar a diferença percentual entre esses dois lados, desconsiderando m c 2 2 , encarando E 2 como se fosse 100 % , então a diferença percentual pode ser dada por:

E 2 - p c 2 E 2

Onde p = m v γ .

Passo 2

Vamos encontrar a velocidade v pediada em ( a ) , temos:

E = 10 E 0

⇒ γ m c 2 = 10 m c 2

⇒ γ = 10

Então temos que:

1 1 - v 2 / c 2 = 10

⇒ 1 - v 2 / c 2 = 1 10

Elevando os dois lados ao quadrado, temos:

1 - v 2 c 2 = 1 100

⇒ v 2 c 2 = 1 - 1 100

⇒ v 2 c 2 = 99 100

Então temos que:

v = 0,995 c

Passo 3

Então agora vamos encontrar a diferença percentual, temos que:

E 2 - p c 2 E 2

Onde:

p c 2 = m 2 v 2 γ 2 c 2

E

E 2 = m c 2 2 + p c 2

= m 2 c 4 + m 2 v 2 γ 2 c 2

⇒ E 2 = m 2 c 4 v 2 c 2 γ 2 + 1

Então temos que:

m 2 c 4 v 2 c 2 γ 2 + 1 - m 2 v 2 γ 2 c 2 m 2 c 4 v 2 c 2 γ 2 + 1

⇒ m 2 v 2 γ 2 c 2 + m c 4 - m 2 v 2 γ 2 c 2 m 2 c 4 v 2 c 2 γ 2 + 1

Então temos que:

1 v 2 c 2 γ 2 + 1

Pegando as informações do item anterior, temos que:

γ = 10

v 2 c 2 = 0,99

Então:

1 ( 0,99 ) ( 100 ) + 1

Assim a diferença é dada por:

E 2 - p c 2 E 2 = 0,01 = 1 %

Resposta

( a )

v = 0,995 c

( b )

E 2 - p c 2 E 2 = 1 %

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